Division. — Considérons le quotient p = ~ de
b deux nombres donnés par des nombres approchés a^ et b^
avec des erreurs absolues moindres que a et p. Le nombre p est compris entre ^^ et 4^±^ ; il diffère
donc de -^ d'une quantité moindre aue ^'^-^^^^ . ^* bi{bi — ^) '
par conséquent une limite supérieure de Terreur absolue est formée par l'égalité
«1? 4- bi<x.
b' étant la limite inférieure, ou, a fortiori^ par l'égalité
it = — ,
a" et b" étant toujours les limites supérieures de a et de b. En divisant par une limite inférieure du nombre », —, nous aurons une limite supérieure de Terreur relative
a' fr • 6: 6'8 a'
Or nous avons déjà fait cette remarque que les deux nom- , a" b"
^^^ o^' Y^ *^^"^ grands que 1, sont très voisins de i,
que, d'autre part, a et p sont en général des limites supérieures d'erreurs notablement agrandies ; par conséquent, nous aurons, avec une exactitude bien suffisante dans la
pratique,
C'est la formule des erreurs relatives : elle montre que nrreur relative d'un quotient a pour limite supérieure la ^omme des limites supérieures des erreurs relatives du divid&nde et du diviseur.
Application. — Avec quelle approximation peut-on calculer le quotient
sachant que chacun des nombres approchés diffère du nombre exact d'une quantité moindre qu'une unité de l'ordre de son dernier chiffre à droite ?
et
3p -+- ÂoL 43
i peut donc prendre
On peut donc prendre pour ir le nombre ou
Les erreurs relatives sont — ^ et ; donc Ter-
reur relative du quotient est plus petite que . » Elle
est sûrement moindre que »
I uou
Si on avait calculé d'abord cette limite supérieure de Terreur relative et qu'on voulût en déduire une limite supérieure de Terreur absolue, on remarquerait ici que 1 est une limite supérieure du nombre et que par suite Terreur absolue est moindre que xi ou - Nous trou- 1 UUU 1 uuu
Yons ainsi une limite double de la première, ce qui montre bien les exagérations qui se produisent par nos méthodes et le peu de danger qu'il y a eu à remplacer antérieurement a" b"
179. Racine carrée. — Soit a un nombre connu par un nombre approché ai avec une erreur moindre que a, le nombre >/a est compris entre ^ai — a et •ai 4- a ; par conséquent le nombre v^â][ diffère du nombre exact d'une quantité moindre que v^ — V^ai — a ou V^ÔH^ — v^ ; or, en multipliant et divisant la première quantité par
426 BRRBURS
v/ô^ -H v^tti — a, la seconde par v^ai H-a-hv^, elles devien-
nent respectivement -7= , et . =- ;
elles sont moindres toutes deux que -ztt^ «' étant une
^ 2va'
limite inférieure de a, au plus égale à ai — a.
Si nous divisons cette limite supérieure d'erreur absolue
par une limite inférieure du nombre, >fSy nous obtenons
une limite supérieure de l'erreur relative, -5-7 •
Donc une limite supérieure de l'erreur relative d'une racine carrée s^obtient en prenant la moitié de Verreur relative du nombre soumis à cette racine.
Application. — Avec quelle approximation peut-on calculer V^4^32788, sachant que Verreur relative du nombre approché
est moindre que — — - ?
L'erreur relative du résultat est moindre que ;
d'autre part, le nombre cherché est moindre que 3, donc
l'erreur absolue est moindre que
Effectuons maintenant le calcul, nous trouvons 2,080 ; si donc nous prenons 2,08 nous commettions une nouvelle
erreur moindre ^^ > Terreur totale est donc plus petite 1 000
que et a fortiori que -77x77- > la racine est connue
1 uOU iUO
avec 3 chiffres. La seconde erreur est par défaut ; si donc on sait que la première Test aussi, les trois chiffres conservés sont exacts. Mais si Ton ne sait rien sur le sens de la première erreur, on peut affirmer simplement que 2,08 est l'une
des deux valeurs approchées du nombre cherché à -jrrr
près, par défaut ou par excès.
BRRBURS 427
180. Racine cubique. — L*erreur commise est ici moindre que Val — Vfli — « ou ^ ai-f-a— Vât. Pour transformer la première différence, par exemple, on s'appuie sur Tiden-
tité
a?« — y» = (a? — y)[x^ H- ary + j/*),
et on multiplie puis on divise cette différence par la même quantité
elle devient alors
{Jâiy H- ^âly/âi — a-+- (^i— a)* quantité moindre que , a' étant une limite infé-
rieure de a, au plus égale à ai — a. La seconde différence conduit au même résultat. Donc
une limite supérieure de Terreur absolue est — î7=r— • Nous aurons une limite supérieure de Terreur relative en
' oc
divisantlenombreprécédentpar y?; nous aurons ainsi -ç-r'
Par conséquent on obtient une limite supérieure de l'erreur relative d'une racine cubique en prenant le tiers de la limite supérieure de l'erreur relative du nombre envisagé.
181. Formule générale du monôme. — Considérons, par exemple, le nombre p à calculer par la formule
ab^
Désignoiis par a', P', y, 8' et ir' des limites supérieures des diverses erreurs relatives ; en appliquant successivement les diverses règles que nous avons établies pour les opérations simples de Tarithmétique, nous aurons
Quand nous aurons tc', il sera aisé de calculer %, lalimite supérieure de Terreur absolue et de nous rendre compte de Tapproximation que Ton peut obtenir ; il suffira de calculer sommairement, à vue, une limite supérieure du nombre p, p\ et de multiplier n' par p\
Galoul du résultat d'une formule arithmétique donnée aveo une approximation donnée.
182. Nous n'avons plus à nous occuper maintenant que du second problème, dont nous allons d'ailleurs exposer renoncé à nouveau avec détails.
Étant donnée une expression numérique portant sur des nombres exactement connus, nous nous proposerons de calculer le résultat auquel elle conduit avec une approximation donnée, en cherchant quelle erreur nous pourrons commettre sur chacun des nombres de cette formule sans cesser d'obtenir Tapproximation den)andée, et en profitant de cette erreur permise pour simplifier autant que possible le nombre envisagé, c'est-à-dire pour déterminer le plus petit nombre de chiffres qu'il soit nécessaire de garder dans ce nombre.
Généralement l'approximation denîandée s'énonce en disant que le résultat doit être connu avec un certain nombre de chiffres décimaux, ou à une unité près du m* ordre décimal, ou, d'une façon plus générale, à n unités près du mr ordre décimal.
Il est naturel alors, une fois le calcul terminé, de ne garder dans le résultat que les m premiers chiffres décimaux^ c'est-à-dire les chiffres qui représentent des unités de Tordre indiqué dans l'approximation ou qui représentent des unités d'ordres supérieurs. On supprime alors tous les chiffres qui suivent le m« chiffre décimal et on garde le m'^ ou on le force d'une unité, suivant que la partie supprimée est
moindre ou plus grande qu^une demi-unité du m« ordre décimal. On commet ainsi une nouvelle erreur moindre qu'une demi-unité du m« ordre décimal et qu'il faut ajouter à celles qui proviennent des simplifications faites ou à faire pour avoir une idée juste de l'approximation finale. Pour que celle-ci reste ce qu'elle doit être, il faudra alors imposer à Terreur absolue du résultat complet l'obligation d'être moindre que n — 0,5 unités du m« ordre décimal. Nous ne nous servirons dans ce qui suit que des formules d'erreurs absolues et nous commencerons, d'abord par les formules simples qui ne renferment que l'indication d'une seule opération.
183. Addition et scastraction. — Supposons qu'il s'agisse d'effectuer la somme de 12 nombres à une unité près du quatrième ordre décimal, ou une expression composée d'additions et de soustractions successives.
Alors la limite supérieure de l'erreur absolue imposée au
résultat complet doit être ' ou » Il faudra alors
1 U iMi) if U 000
ne commettre sur chacun des nombres employés qu'une erreur au plus égale à jg^^^ ou à ^^ ou enfin à
î par suite, on conservera dans chacun de ces nom-
lUOOOOO
bres les six premières décimales seulement, on fera ensuite la somme indiquée et on supprimera les deux derniers chiffres décimaux, en forçant le dernier chiffre conservé lorsque le premier chiffre supprimé est égal ou supérieur à 5.
Lorsqu'on n'a pas d'intérêt à connaître le sens de l'erreur finale, on peut prendre certains des nombres par excès et d'autres par défaut; cela ne peut que diminuer l'erreur totale. Mais si Ton a intérêt à évaluer le résultat, soit par excès, soit par défaut, il faudra prendre tous les nombres de façon qu'ils soient approchés dans le même sens.
