I, on divise le dividende seulement par
35 : 6. on multiplie le diviseur seulement 1° par 2 ; i" par 5. 25 : 6. on divise le diviseur seulement par 3.
36 : 6, on divise le diviseur seulement par 3. 39 : 6, on divise seulement le diviseur par 3.
Not« XI (page 38). — Soit D le dividende tt d = abc le diviseur; enfin soit q le quotient de D par a, puis q' le quotient de q par b et q" le quotient de q par c' on aura :
q'=c q'.q=bqi,D = aq = abcq" donc q" est le quotient de D:abc.
Supposons qu'on ne considère que la partie entière des quotients; si l'on désigne par r, r', r" les restes de chaque opération, on aura :
q' = cq" -\-r'', q = bq'+r\ D=aq+r=abcq" + (abr" + ar'+r); je vais démontrer que abr" + ar' + r < abc; en effet, r £ a — 1, ri â 6 — 1 et r" 5C c — 1 ; donc abr" + ar' + r S abc~ab + ab — a ■\- a — i ou abc — i ; de sorte que q" est la partie entière du quotient de D par abc et le reste est abr" + ar' +■ r.
V G oo»^ le
Note XII (page 39). — Soient à diviser l'un par l'autre les nombres M et Ji, séparons sur la droite de ctaacuo d'eux p chiffres, et représentons par Jf ' et M" les parties à gauche, par M", N" les parUes adroite, nous aurons :
jr = M' 40» + Jf" JV = N- 10" + N"
D'où nous déduisons les Inégalités :
M>M'H1' et <{*' + !) 10* , N<(N' + i)10'et>W'10';
Si nous représentons par q le quotient de M' par N' et par R le reste, nous aurons :
M' = yq + R
par suite ^ > ? + |^ « f < î + ^F^ Comme A est toujours plus petit que N', R" + 1 est tout au plus égal it S' et par suite
La partie entière de ^ est donc tout au plus égale à q.
Par l'Inégalité précédente, nous voyons que si R>9,le quotient -^>f, donc dans ce cas, la partie entière du quotient est q.
Mais si fl < ç, la fraction ^^^ est négative et plus petite que 1, puisque JV' > 10 et ? < 10; donc -^ > 9 moins une certaine fraction, et par suite la partie entière pourra être q ~ l ou q.
On vérifiera le quotient en divisant le dividende par ce quotient. Si le quotient trouvé est moindre que le diviseur, c'est que le quotient est trop fort et on doit le diminuer d'une unité.
Note XIII (page 51). -- On ne sait pas encore bien comment les anciens faisaient les divisions; au commencement du moyen âge on employait la soustraction répétée avec quelques slmpiiflcations. Plus tard on découvrit beaucoup de règles différentes ; il y avait la méthode à l'Italienne briève et longue, à la portugaise, à l'espagnole, à la française biiéve et longue, etc. Toutes ces méthodes ne différaient pour la plupart que par la disposition des termes. (Voir VAritkmétiqHe raisonnie d'Euler.)
V G oo»^ le
La méthode que dous employons actuellement est celle de la divtnon à [italienne brève; la méthode à la française longue se trouve exposée dans le passage du Triparly eu la tdence drs nombres, de Nicolan Chuquet; cet ouvrage fut écrit en 1484 ; il a été publié pour la première fols par Aristide Marre, d'après le manuscrit Fonds fraiifais n" 1346 de la bibliotiiËque nationale de Paris, dans le Bollettino di bibliografin e di sloria délie iàenzematematùbe e pticheda friace Bfmcompagtii,Rome,U)me\]]\.lSè(>, p. 593.
La méthode de Nicolas Chuquet donne une idée de la maniâre dont on opérait de ce temps ta division.
a llem qui vouldroit partir 705 par 19. Les nombres couchés ainsi
qu'il appartient. On doit regarder en 7 quantes foiz 1 et en quanies foU
9 ou en 70 quantes foiz 19. 11 y est contenu par 5 folz que Ion doit mettre
entre les deux lignes et au dessoubz de 7. Puis dire 5 foiz 1
j^2 '<"■>' ^ '^"^^ ^^ ^ ''^^^ ^ S"^ ^ pu'^ ^ ^°^^ 9 ^'^^^ ^'^ l^"€^ ''onc
705 de 30 reste 5 sus et 3 que l'on a empruntez leuez de 4 reste
57~ 1 sus 4 En après on doit re^rder en 13 quantes fois 1 ou en
ïg 135 quantes fois 19. II y est 7 foiz tout considère et non plus
pourtant fault mettre 7 au dessoubz de 0. Puis Ion doit dire
7 fois 1 fom 7 leuez de 13 reste 6 puis 7 foiz 9 font 65 leuez de 65
reste â. Et ainsi vient â la part 57 A> iComme il appert en mai^e (1). »
Note XIV (page 33). — Il existe une méthode de la division qui dérive immédiatement de li régie de la multiplication que nous avons exposée dans la noie Vlli; en voici lï théorie :
Soit D le dividende, d le diviseur et q le quotient. Soit 10" le complémenlaleur du diviseur; celui-ci sera plus petit ou plus grand que 10"; soit d < 10" ; on peut écrire d = 10" — C^ et si l"on pose ? = 10" — C,.
il vient dfl ou Z) = lO*- - 10" {C, ■\ C,) + C, C, ; donc -^ r= |0" —
f f n" ce ^
C,-C,-r^-oal,ltnD + j5; = ?-C,+ -jj;',(l'0Ù}= !)■ +
' ^ 10- Si D" 5 Cj C,. î = C + C^ ; mais si 0" < C^ C,. î < D' + Cj.
„Gooi^lc
De \i résulte la règle suivante que nous appliquerons à la division de
9853 1507 par 9863.
1" On sépare sur la droite du dividende autant de chiffres qu'il y a de
.„ f^g^plg ïéros dans le complémentaleur du
„,„ diviseur; 2" on au(;menie la parUe
9S52 '130719863 'I"' ''^^^ ^"'' '^ S^uf'he du dividende,
+137 I "lu compléraenldu diviseur, si celul-
~9989 quoUent exact. cl est plus petit que le complémen-
11 X 137 = 1507 tateur, et l'on diminue la partie du
y exemple dividende du complément du dlvl-
C il seur si celui-ci dépasse le complé-
S32 8451 989 mentateur; on obtient ainsi le quo-
-h 11 I tient ou un quotient trop fort.
543 543— 5 = S38quotient Pour voir si le quotient n'est pas 457X11 =^37 trop fort, on multiplie son complément
— ~ Ç ** par celui du diviseur; si le produit
4182jM19 Ç3J ^3, jjy Inférieur k la partie qui
reste à la droite du dividende, le quotient est exact ; dans le cas contraire, on doit retrancher de ce produit la partie à droite du dividende et l'on divise ensuite cette différence par le diviseur, en forçant le quotient d'une unité quand on n'a pas léro pour reste; en retranchant ce nombre du quotient présumé, on aura le véritable quotient Cette règle doit être légèrement modiSée quand les nombres sont supérieurs au complémentaleur, commedans les cas analogues de la multiplication.
Quand un nombre est exactement divisible par 9, pour trouver le quotient de la division par 9 on peut procéder de la manière suivante : Soit le nombre 7234813 ; écrivez un ïéro au-dessus du chiffre des unités ; retranchez le cblWce des unités de dir ; écrivez le reste au-dessus 7^^i2 ^^^ dizaines; retranchez le chiffre des dizaines plus un du reste écrit au-dessus; écrivez le resie au-dessus du chiO)% descentalnes; retranchez le chiffredes centaines du reste qui est au-dessus (Ici augmentez ce chiffre de 10); écrivez le reste au-dessus des mille: retranchez le chiffre des mille plus un du reste écrit au-dessus ; écrivez le reste au-dessus du chiffre desdlzainesde mille, etc.; le quoUent demandé est le nombre supérieur donton supprime le zéroàdrolle. Ce procédé, que l'on comprendra facilement, est basé sur la formule H =9Q = 100 — Q; d'où lOQ ~ iV = Q.
763 reste de la division.
V G oo»^ le
Note XV (i>3ee 34). — La divisIOD est une opération lal)orieusc quand les termes sont de grands nombres; il n'est donc pas élonnant que beaucoup de recliercbes aient élé faites pour trouver des ijrocédés abrégés; on trouvera quelques-uns de ces travaux dans les youvelles Annalei de Mathéiimliques (années iSiS, 185i, 1833'. Nous appellerons spécialement l'atteotlon sur les règles suivantes : 1" la division abrégée que le capiuine d'aitillerie Guy publia en liiJo {C RA. t. Xl\, p. 1018 et I. XX, p. 67) ; i" la division ordonnée de Fourter que le pi-ofesseur Flnck introduisit dans les éléments ITriiilé d'milhmélique, ISii: ; on en trouvera la théorie dans une note de M. Schaar (Biilleliu de l'Acadétaie des ncieruxn de Bruxelles, 18S!, l. XVIIij ou les IV. A. M. (18i5, p. 528 el658; 1853, p. 50 et U8j.
Nous finirons cette note en rappelant l'ouvrage la Oiiiision réduite à une addilion, par it. ['icarte. membre de la Faculté des scienes physiifues et malliématiques de l'université du Chili IParis. MallGi-lIacheller, i860); cet ouvrage a été approuvé par l'.^cadémle des sciences de Paris; ,on en trouvera une analyse dans le Ballelin bMioijrajihiqae des .V A M, .innée 1861, p. 17.
Note XVI (page Ô8L — Quand on effectue la division indiijuée par y — a' la formule — on obtient un quotient q et un reste r; on sait que
q représente le nombre entier à ajouter à la valeur relative de a pour obtenir k une unité près la racine carrée de N. il est utile de pouvoir déiermlner facilement le reste .V — (n -|- q]'.
Or N — a* = 'aq + r donc A" — ta + q)' = r — q'.
Si r = q', ti + q est la racine exacte de iV.
Si r > ^' , a + 9 est la racine à une unité prés par défaut.
Et si r < 9*. a -f ? est la racine a une unité près par excès. Exemples :
i' Soit à extraire la racine c arrée d e 199996164 ; la partie entière de cette racine aura S chiffres; |/ 19999 = Ul avec le reste 1186164 qu'on div isera par 2 8200 ; il vient q ~ 42 eir = 1761; or 1764 - 42' donc |/ 199996164 =14142.
2" Soit à extraire la racine carrée de 3
Calculons d'abord les 5 premières décimales en extrayant la racine carrée de 3,00 00 00 ; il vient n = 1 ,732 : on aura les 3 chiffres suivants «n divisant le reste 176000000 par 3164000; il vient 9 =■ 050 «
V G 00»^ le
r = 3800000 > 050' ; dODC 1.732050 esl la ricine carrée de 3 à ua mmioQléme par défaut; et JV— (a+fl)' =r — q' =2800000 — 050' = 2797SO0 ; il sera lacile, au moyen d'un division, d'obtenir encore 6 cbifires deUracine; on divisera 27975 00 00 0000 00 00 00 par 3464100 000000; on obtiendra ainsi ?' = 807569 et r' = 227100000000 > 807569 ; donc 1 ,752050807569 est la racine à une unité prés du dernier ordre par excès.
Dans l'arithmétique de Peacock (1791-1858), professeur à l'université de Cambridge, qui (ait partie de VEneyclopedia Metropolitima de Londres (1825-1826I, se trouvent rapportées plusieurs régies anciennes pour l'approximation des racines carrées et cubiques.
La formule \/ a' +j; = o + ^est attribuée aux Arabes (JV A M, 1861, p. 48, et 1870, p. 505».
On trouvera iN A M, 1886, p. 6) une méthode pour la \/a' + x uns effectuer le carré a'.
M. Gergonne énonce une autre méthode dans une note à la Bn d'un mémoire de Boblllier (Anaala, t. SX, p. 127) : déterminez, à l'ordinaire, les deux premiers cbiflres de la racine ; carrez et retrancbez. Abaissez les deas chiffres suivants; séparez le dernier; divisez la partie à gauche par le double de la racine trouvée : vous aurez le troaiéw. chiffre de la racine. Carrez ce troisième chiffre et retranchez du reste de la division sul>i du chiffre négligé. Abaissez les quatre chiffres suivants, séparez les deux derniers; divisez la partie à gauche par le double de la racine trouvée; vous aurez deux chiffres de plus. Formez le carré de cette nouvelle partie de la racine; retranchez-le du reste de la division suivi des dMx chiffres négligés, etc. Eo cooUnuant de la même manière vous obtiendrez encore qaatre chiffres de plus, puis huit, puis seize, etc.
On peut aussi procéder par approximations successives comme suit : Soll N = {a + X)' = a' + tax -|- x' ; en négligeant x, on aura x = £^elltiiciDiiVN=a + x=a+^^ = ^+~=^(a-}-^); donc si a est une valeur approchée de \/ -V, -ï- (" + ^) sera une valeur encore plus rapprochée. Cette valeur est approchée par excès. Posons b = y (n H- ^ ) : on pour» raisonner sur b comme sur a, en posant N = {b — X')' = ft' — 2fra;' + x" et en négligeant x", x" = ? ■ ' ~ '^ et par suite [/ N = b — *' ~^ = T (* "'" V ) '^^^' encore une valeur par excès ; en posant c = ~- (fr + -^), on trouverait pour une nouvelle approximation \/^ = y-(c -f- y] et ainsi de suite indéSniment.
V G oo»^ le
Par exemple soit à calculer |/ 5 ; la 1" approximation est a -|- 1 ;
Il 2« est fc = -j- (l + Y) = 2;'*3"estc = 4- {i + \) = ~=l.lSi \M i' d= -5-(l.T5+^^j) = l,7321;la5<'e= i-(l,7321 + ^) et ainsi de suile.
On peut employer aussi la formule \/a'+x =0 + ^-— x -~
particulier si a^l,|/l ^x= i ± ^ x
ApplJcalùm : \/T= V/ 15^ = y \/T~
-Î-XO.O! = 0,01
-f.XO,0a>=(-^XO.o!)X°-^ = C.00005
-,.',-XO.O!'=(-î-XO.«')X'-',^ = D.0000005
7TïXO.oî>=(-;Vx.c!")X^î'^ = o,ax«icai6»
rî-X0.ia'^ïï-BXO.0!')Xli'f^"-i= O.0O00O0OO0OS75 ^XO,0!« = (,;,X0.0!>)X-^^' '
Donc |/2 - 10 X 0,9899494936611875 = i.iU2l356237512S.
Quand on peut prévoir que le complément de la racine carrée d'un nombre est assez petit, on peut aussi employer avec avantage la méthode par les compléments; soit a la racine carrée de N et supposons a < 10"; on peut écrire a = 10" — "C„; donc a' ou JV= 10" — 2 IO"C. + C; faisons abstraction de C alorsiV=IO'' (10"— 2C,), d'où,^ = 10'— 2C,; de sorte que ^ + 10" = 2 (10" — CJ = 2n.
Soit, par exemple, 1/938961 qui aura 3 chiffres et différera peu de iO'; séparons trots chiffres à la gauctie du nombre, ce qui donne 938 et ajoutons 10', ce qui fait 1938; la moitié de 1938 ou 969 est la racine; nous vérifierons ce résultat en prenant le complément de 969 qui est 31 ; si le carré de 31 ou 961 peut être retranclié de la partie 961 qui est restée à la droite du nombre proposé, c'est que 969 est bien la racine (1).
(1) Dans le bulletin de bibliographie (iV A M. 18S8, l'expoié des méthodes abrégées de Cataldi, auteur italien di
„Gooi^lc
Remarquons en passant, coiuine le faisait Terquein, que ces mélhodes
abrégées de calcul sont à l'usage de personnes qui ne calculent pas. Les calculateurs de profession emploient les loganihmes. Partout tes locomotives sont préférables au\ carrioles : nrv /oii{ra. mtabrem{{}.
Note XVII (page i2.. — Soil .V = [a + J>)' = a' + 5a'b + Zab' + b', l'on a
Supposons que la partie b à droite de U racine ail moins de chiffres
que la partie n; l'on aura ib+ i)' 5« ou /i' -(-2i<a, donc— <1 ;
or fl = '^ = t{--+ hi' 1('"« B < (' - ^) + ^A" B < I — 3*, iSrt + 2&I. ou bleu fi < t.
Hutton donne la régie d'approximation suivante pour l'extraction de la racine cubique : soit^ un cube donné, a une racine cubique approciiée et ir la racine cubique ciiercbée; on aura la proportion A + 2a' : a' -|-2A -- rt : X. ■
Exfmple: Soit A = 21035,8 et n — 27 d'où a" = 19613; 11 vient
)>'er aussi la t'oni
analogue à celle qui a été donnée pour la racine carrée (note XVIj- A]>j>lkation:]/i =\/ ^-^^ = ] V \ -l-0,02i= 1,2599210499...
Note XVIÏI (page 44), — Euclide s'est, l'un des premiers, occupés des nombres premiers. Tous les nombres pairs, à l'exception de 3, se trouvent d'avance exclus de la série des nombres premiers, la il n'y a aucune difficulté ; les nombres pairs étant tous faciles à reconnaître : mais 11 n'en est pas de même des nombres impairs parmi lesquels il y en a qui ne sont pas prejuiers; de sorte que la suite naturelle des nombres
t fui» de irois chiffres
V G oo»^ le
— 2yi -
impairs esi un mélange de nombres premiers et de nombres décomposables en facteurs ; c'est pour faire le triage ou pour séparer les nombres premiers de ceux qui ne le sont pas qu'Eralosihéne proposa, sous le nom de crible (*iJi/ivoç), une méthode directe.
tl ï a uue méthode qui ne diffère pas essentiellement du crible. Pour trouver tous les nombres premiers de 1 à n' on écrit la progression
arithmétique q', q' + iq. q' + iq ; on fait successivement 9 = 3,5,
7 ; en poussant chaque progression jusqu'au terme le plus rapproché
de n' : les nombres impairs non renfermés dans ces suites sont tes nombres premiers cherchés [.V A M., années 1846, p. 609. j
Voici une régie pour reconnaître si un nombre N est premier : il faut lui ajouter successivement les carrés de tous les nombres naturels depuis 1 à — ^ . et si aucune des sommes à l'exceptloD de la dernière est un carré, on est assuré que N est un nombre premier. (Voir le dictlonoaire de Monlferrier, article premier.)
L'opération qui sert à obtenir le crible d'Eratosthéne fournit uu moyen commode d'étudier les nombres premiers au moyen de certaines suites que Alph. de Polignac a appelées suitet lUatomiques <.V A M, 1819, page 433).
Une table très connue des nombres premiers est intitulée: CrUium arithmetiatm, sive tabula conlioeas numéros primos, etc., confecit LadUtaus Oiemac (Deventer, 1811); elle va jusqu'à 1020000. BurckhaTdt l'a continuée dans un ouvrage intitulé : Table des diviseurs povr loui les nombra de 1020000 à 30380000 (Paris, 1814). Plus tard encore, des Ubles ont été calculées par lui pour le 3* million. Base et James Glaigher sont allés , Jusqu'au 10° miiUon. De ces tables il résulte que t
De 1 à 100 il y a 25 nombres premiers.
1 à I.ÛOÛ » 164 » n
EnflD jusqu'à 100,000 « 78,495 « «
Legendre a donné une formule pour calculer la quotité des nombres premiers de 1 an; c'est J' roajoe ■ '* '"^^^ *''*'' ^^^ naturel.
Il existe une curieuse application faite par H. Brocnri de celte formule(iVAM.,l876,p 330, avec la rectification par M, i.i("ine(,p.473).
On peut démontrer que la suite des nombre» premiers est ilUmilée. Soit iV un nombre premier : multiplions entre eux tous les nombres premiers 1, 2, 5, 5... jusqu'à IV inclusivement, et soit Pie produit; alors P+l>, Y est un nombre premier et alors il y a un nombre premier plus grand
V G oo»^ le
que N, ou P + l n'est pas un nombre premier (11. Si P + 1 n'est pas premier il aura un diviseur premier; or œ diviseur est nécessairement plus grand que A', car rout nombre premier moindre que AT entre comme bcteur dans ie produit P et divisant P il ne peut diviser P + i- Il résulte de ce raisonnement que, dans les deux h;potliëses, il t a un nombre premier plus grand que .V.
On peut démontrer que tour nombre premier autre que 2 et 5 est un ■ultiple de 6, augmenté ou diminué d'une unité: mais la réciproque n'est pas vraie. Exemple: 26 = 6 X 4+ l;55=6X6 — 1; « = 6X8 + 1.
On ne connaît pas de fonnule propre à ne donner que des nombres premiers. Il existe seulemeni des formules qui en donnent plus on moins ; telles soni :
<• B* 4- n -i- 7 dont les 17 premiers sont des nombres premiers ;
S° 2b + 29 dont les 29 premiers sont des nombres premiers ;
3° n' +n-\- i dont les 41 premiers sont des nombres premiers.
Voici encore une remarque fort curieuse sur la formation des nombres premiers tCrelle, 1853, p. 201). Soit la sulie naturelle des nombres premiers, l'unité omise 2, 3, 5, T... p,, le dernier nombre indiquant le s* terme de cette suite on aura pour :
n impair j*, = 1±2±3±5± 7 —p.-. + ip.,,-
npair p. = 1 -t 3 ± 5 ± 7.. .. +p„-,+p.-,-
Exemple» :
B~=6 )5 = i-l-2 3 5-f 7 + II.
11 = 7 17 = 1 + 2-3-5 + 7— Il +2X 15.
Cette loi a été vériflée jusqu'au nombre premier 499.
Il existe aussi une formule pour exprimer combien ii y a de nombres premiers avec un nombre donné N et pas supérieurs à N; cette formule s'établit au moyen de la tliéorie des congruences.(Volrle Conn d'Algèire tupérieure de J.-A. Serret, tome II. Paris, Gautbler-Viiiars, 1866J. Si !(=a' b?ct... [a, t,c.. .étant des nombres premiers)eten désignant b(JV) le nombre dont 11 est question, il vient :
(1) p + 1 n'eu pai nëceuairement un oombre premier; en effet, si l'on taii nicceuitement lei produit» 1X1=2. *X3 = 6, 6X3 = ». 30X7 = 810, 210 X 11 ~ 2510, 23lU X 15 = 30030. et puis li l'on ajoaie i i cbuue
Eroduii OD a la luite des Tsleura (le P f 1. 3, 7. 31, lit. SSII, 300S1 .le* première* lalEun *ant des nombre* premiersj mai* 30031 ne l'est pas car 30031 = tiOO X 39
V G oo»^ le
,(»=iï{i-;)(.— i)(<-i)
Celte formule peut ëlre aussi établie directement. (Vulr le Coar» de MéUiodologie mathématique, par H. Dauge, professeurà l'université de Gand.)
On trouvera des remarques Intéressantes sur les nombres premiers par Laesgue dans les .\ A M, 1856, p. 130 et 256.
Note XIX (page 47). — Sur la limite du nombre des divisions à effectuer dans la recberclie du plus grand commun diviseur, voir X A M, année 1845, p. 71, 568 et 617 et C J* P, t. iX p 483.
Lemme. — Dans la l'echerche du plus grand commun diviseur de deux nombres, chaque reste est toujours moindre que la moitié de celui qui le précède de deux rangs.
DÉmonMtratiûH. — &oienl Bi, Rt, Ai trois restes successifs; il faut prouver qu'on a Si < ^ .
En e&ët, si A, est déjà plus petit que ^ ^ P'u^ forte raison As < % car Al < Al ; si Al >-^, en divisant A, par R, on aura pour quotient un et pour reste R, = A, - A, ; or A, > ^'- donc A, = A, — A, < y.
Théorème. — On a une limite des divisions à effectuer dans la recherche du plus grand commun diviseur : 1° en prenant le double du rang de la puissance de 2 immédiatement supérieure au plus petit des deux nom* bres; ou même le rang de cette puissance de 3 quand on choisit convenablement les restes.
Démottilratiott — Soient A et fi les deux nombres, A étant plus grand
que B; et A,, R A,„les restes de l'opération ; on a :
A>B>R,> B,... > R„.., > R,„ ou bien encore, d'après le lemme précédent
2B. <B,tR.< A,... 2A,„ < B,„ ,
Multipliant membre à membre ces inégalités
ï" A,,< £ et parsulte A,„ < -^
Or, tous les restes doivent être entiers, donc B > 2", donc le dernier reste ne sera pas de rang 2". par suite on n'aura pas à faire 2" divisions.
On peut toujours avoir des restes moindres que la moitié du reste précédent en faisant usage d'un principe connu (123); de cette façon on peut écrire.
V G oo»^ le
2fi. < B, 2B, <R., 2fi. <fl.... 2fi„<fl,- ,; en mulllplianl ces inégalités membre à membre 2" R, ^ B ou fi, < ^ .
Ot B> V sinon B., ne serait pas entier ; donc on n'aura pas le reste de rang n.
On conniijt aussi le tliéorùme de Lamé : dans la recherche du plus grand commun diviseur enire deux nombres la limite des divimoits est \sn, n représentant le nombre des chiffres du plus petit des deux nombres. (C fi A. t. XIX, p. 867|: ensuite la liinlie fournie par fimel(/. L., t. VI, et C R A, l. XIX, p. 957); enfin on pourra lire une note de Gros (CBA. t. XIX, p. 1040).
Note XX I pa^c i^)- — Euclide a démontré de la manière suivante que le produit de dettx nombres premiers avec un 3» est premkr avec ce 3* sombre, (l'rop. 21, 23, 23 et 26 du Vil' livre.) :
1" Si -'^ est la plus simple des fractions équivalentes à une fraction déterminée — ; a sera un diviseur ie petb un diviseur de q.
En effet, si n est un diviseur de p, on aura p = ma [m étant entier); mais '" = — = ma d'où q = mb; donc b sera aussi un diviseur de q.
Si n n'est pas un diviseur dep, divisons;» paru et soient mie quotient et a' le reste ; nous aurons /i = mn + «'. d"où ' = ^ = m + ~ ; or la fraction -"- étant inférieure à l'unité, il est clair qu'en divisant q par b on obtient nt pour (luotient entier avec un reste *' < b, d'où -f- = "i + -j- ; donc aussi ■!■ = x *"* V ~ T ~ '' ; on trouverait donc une fraction équivalente à -^- et plus simplu que y.
2° SI p et (f sont deus nombres premiers entre eux, ■- sera ia plus dmple de toutes les fractions ayant même valeur. En effet, si la plus simple était une autre fraction ^ , a serait un diviseur ie p eib ou diviseur de q; et Ion aurait;) = mu, q - mb, m étant un entier supérieur à l'unité; par conséquent, p et q auraient un facteur commun m.
3^ SI b est premier at ec a, b sera premier avec tout nombre c diviseur de a. En effet, si ^ et t avaient un diviseur commun d, ce facteur diviserai^ exactement a qui est un multiple de c: on aurait donc b = md, tt=r ndel d serait un diviseur commun de n et h.
i" Si a et ^ sont premiers avec i^. leur produit ab = p sera aussi premier avec c.
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Démonslration. — Supposons que p et c aient on diviseur commun q ; a, premier avec, c, sera premier avec q diviseur de c, et d'ailleurs, on aura p = mq.méianl entier, ou ab = mq; d'oii -|- = -™ ! àonc -"- sera la plus simple des rractions Équivalentes à — ; donc q sera un diviseur de b. Ainsi £ et c auraient un diviseur commun q, tandis qu'ils sont donnés comme premiers entre eux.
Rote XSI, (pige 51). — Dans un ouvrage publié en ISS'l par le professeur Emile Jacoby, Henri Momkux surnommé le pâtre calculateur de la Touraine (né à Veuvy-le-Roi prés de Tours le 32 juin 1826, mort vers i»6i' donne les caractères de divisibilité par tous les nombres de 1 à 50 Par exemple ]>our reconnaître si un nombre est divisible par 19, on double le premier chiffre h droite du nombre considéré, puis on ajoute le second chiffre et l'on double le résullat; et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les chiffres du nombre, en ayant soin de retrancher 19 ou ses multiples chaque fois qu'ils sont contenus dans un résultat; si le reste est 0, le nombre est divisible par 19 ; et si le reste n'est pas 0, on a le reste de la division en prenant la moitié du résultai final autant de fois moins un qu'il y a de chiffres dans le nombre donné; mais quand le nombre est Impair on prend ta plus petite moitié et l'on ajoute 10 (1).
unoin irHenri Mondeux celui d'un auirccalculateur, Dahie. Je Hambourg qui Irouva de léte la valeur de :t avec 200 décimales d'api'ès une formule qui lui avait ëié fournie ; il calcula ensuite de t^te une table de logarithmes nslurels de 1 â iOSOOO avec 6 décimaleB; nous cilei'ons eu*ei Granimange, né i Epinal (I63S) sant brat et «ans jambea- et qui résolvait de [fte des opérslioni Irèa compli<iuéri irarillimctique et d'algèbre ; enrin Vito Uangiamete t\\i\ fut pi-ésenlé i l'Age de 10 am (I837i. à rAcudémie de» sciences de
Pans. Arago lui posa les queitioni suivantes : quelle esi la racine rubîque de 3TSe4t6T L'entant, au bout d'une demi-minute, répondit 190 1 quel est le nombre qui satinfait i. la eonilition que son cube, plus S fois ton carré, est égal à 4i fois ce nombre augmenlé de JO. (Equation x' -|- S x* 4 2x — 40 = Ojî En moina d'une minute Vito répondit que 9 satisfaisait 1 la cundition ; la 5° question revenait à chercher la solution de I équalîOQ x' — 4 x — 16710 — ; après s'être trompé une 1" fois, le prodige doniui T pour solution ; il trouva enlin en très peu de temps que 7 était la racine 10' de iBM7S149(C R. A., tome IV. p. 0781. Ëafin l'Académie de Paris, en 18i,^. eut encore A s'occuper d'un enfant de 6 1/3 ans nommé PnÀangtati, chez lequel elle constata une singulière aptitude pour le calcul ; le dernier esl devenu un bon professeur de malfaématiques. Eniin, en 1813 et 1815, deux jeunes américains, Zerah Gilburn et Georges Biddcr élannèrenl les savants par leur puissance pour le calcul mental ; Colburn se distinguait par sa facilité pour l'exti'action des racines cl la décomposition des nombres. Il décrivit sa méthodes d»ns un livre: A mattoir cif Zerah CMutii tnrilUH 6y Mm*tlf. (Sprinsftl't 1853}.
V G oo»^ le
Od ('est bCMicoop occupé de U dirlsibilité des nMibres ; TOid quelques méthodes pour établir, d'une manière génénle, ta dirisibilité par quelques diviseurs.
I. Tout nombre .V écrit dans la base B estdlfislble par D, si l'on a les expressions enUéres " -- " - ^^' - ----' ou "— *"* 'j ^' ' ' ' ; «. *. «■■- s<»t les cbllfres du Doml»« .V à partir des unités du 1" ordre et A, A', A"... les restes successib de la difision de 0, fi' . . . par D.
Dimeutratimi. — Soit B = DQ + R, B' = DU' -\- A , B' = OQ' + A"-, d'où JV = fl + B + *A + cA' + «iA" +
(toa aussi B = DQ-\- R. B' = b + A', fi' = B+ A' + ... (1); donc N = 'D + it + bR + eR' +
De ces formules on déduit immédiatement les rafles sul«antes :
1* Un nombre est divisible par 2 ou par 5 suiTaoi que le chifie des unités simples est dlTlsible par 2 ou par 5 (on pose B = 10).
S* Un nombre est divisible par 3 ou 9 suivant que ta somme des chiffres est divisible par 3 ou 9 (on pose fi = 10)
3* Un nombre est divisible par i ou 25 suivant que la tranche des deux premiers chiffres à droite est divisible par 4 ou 35 (on pose B = 100).
4° Un nombre est divisible par 8 ou 125 suivant que la traache des trois premiers chiffres i droite est divisible )iar 8 ou ]>ar I35 lOu pose B = 1000).
5* Un nombre est divisible par 37 ou 27 suivant que la somme des ordres ternaires est divisible par 37 ou 27, (on pose fi = 1000).
6° Un nombre est divisible par 7, il ou 13 suivant que la différence entre la somme des ordres ternaires de rangs Impairs et celle de rangs pairs est divisible par 7, 11 ou 13 (on pose B = 1000).
II. iï. Loir a donné une règle très simple pour le caractère de divisibilité par un nombre quelconque ; la voici : Soit N le nombre à diviser, P un nombre premier et P un de ses multiples: soit 0. = — jj—
P-l n D.-o' ,i*-l n Cl a- „P 1 „ „,
-o-î5-,fi. = -^3 « -iû-' »' = -iô " -î^.-.a.a,
a" ..étant le chiffredes unités de iV,i),,D.,..;siron trouveque l'une des différences est divisible par P ou bien que la dernière soit P ou égale à séro, le nombre N sera divisible par P.
(1) On uit que — — ^= " (nonibra enlLer); donc B" — R" = B" = Ô {B — Aj + K" ; par conséquent «i B - H = i», B " = î» + B".
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En effet, on a 10 D, = JV— fl /';douesliV= P, 10 D, =P; on trouferait l> même chose pour /). par rapport à D, et ainsi de suite. Réciproquement s\ D, = P.N= 10 D. + aP = P.
Pour rendre les calculs plus simples, on cliolsira le plus petit des multiples du nombre premier, ayant l'unité pour chiRre de ses unités.
Exemptes: Pour 7 le, m. m. est 3 X 7 ou 31 ; pour 15 c'est 9i, pour 17 c'est Si ; pour 51 c'est 31.
Application. — Examinons si le nombre iV = 330539290 est divisible par 7, 13, 17, 31 et 59.
