TABLEAU DES CALCULS

8t 8tô

Le nombre est divisible par 7, 13, 17 ei 31 : Il n'est pas divisible par

59. (Longcbamps et Lévy, Jounuil de Matlièmatiquen ipéciales, 1898, p. 121,241 et 265.)

III. On peut établir des règles particulières pour les diviseurs premiers ayant un pour le cbiffre des unités; par exemple soit a cherclier le caractère de divisibilité par 191 ; représentous par a la valeur absolue des unités simples et par l> celle des dizaines d'un nombre A',- nous aurons iV = 10* -1 a = idb -~ 190a + 19in = 10 ^È - lOn) + 191..; donc si ( — 19n est divisible par 191, N est aussi divisible par 191.

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Cetie mi^lhode peut être appliqui^e pour les diviseurs 11, 51, 41...; elle peut inême être étendue à des nombres premiers dont le chiffre des unités n'est pas an |.V A .«., 1871, p. 101) (1).

IV. Voici une autre mélliode d'après Bomiakowsky. (iV A .V. , 1839, p. 168.)

Soit un nombre y, D un diviseur entier quelconque, n un autre nombre entier arbitraire; soient q, et r. le quotient et le reste de la division de iV par + n; on aura N = {D -\- n) q, + r, ; ensuite en divisant nq, puisH^. ...parD-|-i». on trouvera successivement Ji'/,=(0+nl9<+''.i nq, = (D +n) ç, + i\ ..., wg,„, = (D +«)?»-. + ''■•'-• ^"8" «9»-, = 'D + 'i)ï™ + '-„.

En additionnant ces égaillés membre à membre et réduisant i\ — (y, + ?. + ... +>IJD + ir. + r. + ... + r., + nq^).

Ou plus simplement A^ = Ù+ R; et dans cette formule /t = r, +r, + -+r„ + nq„..

Si R<D, R est le reste de la division de iV par D ; si H > i) mais R < D + n, on divise R par D et le reste R' sera le reste de IV : Di si R> D + n; on op^re sur fi comme sur N et l'on aura fi = D + fi' et JV = D + fi' et ainsi de suite.

Exemples : 1" soit /J = 9 ; on posera » = 1, d'où D + it = 10 ; 5, représentera les dizaines de N ei r, est le chiffre des unités simples ; q, représente les centaines de ^V et ri est le chiffre des dizaines, etc. *, donc R = la somme des chiffres du nombre, d'où la régie ordinaire pour le caractère de divisibiliié par 9.

2" Soit à chercher le reste de la division de 3678912 par 989; on posera D = 989 et h = 11, d'où + h = 10'.

ïi = 36T8 r, = 912 i ,

q.= 10 r,=^ 458 I '.« '"«ste ,

nq, = 40i58 r, = 140

V Caractère de dimibililÉ par 1. — Soit un nombre iV, a la valeur absolue des ■■l'tUi-.s simples et b celle des dizaines ; il vient iV = lOfr + n = 10 — 3«) + ala; donc .V sera divisible par 7 si & — 2« est divisible par 7 ; de là résulte le procédé suivant: Soit .V = 58059; È — 2<( = 5803 — 18 = 5787; N sera divisible par 7 si 5987 est divisible par 7; on peut raisonner sur 3787 comme sur 58059, et l'on

est 8

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Irouve que la condition de Jiïisibilili^ eitlge que 578 — U = 564 soit divisible par 7 : puis 56 — 8 = 28. Ce nombre étant divisible par 7 on est certain que 380S9 est aussi un nombre divisible par 7.

On voit d'ailleurs qu'on peut siinpliner les opérations en retranchant 7 de tous les chiffres qui surpassent ce diviseur, (Voir les Leçons de mélbodogie mathémniique. par M' F. Ilauge, proresseur â l'Université de Gand).

VI. Cousi-tery a publié une noie sur les caractères de divisibilité d'un nombre quelconque par chacun des nombres'premiers compris entre et 102 iC RA.. l. XII. p. 692).

VII Décomposons un nombre N en tranches de m chiffres chacune; représentons respectivement par «, b. c, d... la i". 2% 3', i' .. tranche h parUr de la droite ; on peut écrire iV = n + 10~Ji + iO'"c + W"d... = a + iQ~(b + lO-'t + 10*"d + ...) = [h (iO"' - l] + c (iO'~ - 1) + d (10'--1) +...] + [a + b + c+d...] = [ft(10- +ll+<:HO'™-i) +dHi3'"' + i) ±...] + [a— b + c—d +...]. Il résulte de ces formules:

i' Que tout nombre est divisible par un Tacieur de 10" quand le nombre formé par les m chiffres à droite est divisible par ce facteur; 3° que tout nombre est divisible par un facteur de 10'" — 1 quand la somme des tranches de m chiliTes, à partir de la droite est divisible par ce facteur ; 3* que tout nombre est divisible par un fadeur de 10"* -\- 1 quand la différence entre la somme des tranches de rang impair et celle des tranches de rang pair est divisible par ce facteur,

Ces régies donnent Immédiatement les caractères de divisibilité sui-

vanU: l"par2, a, 4, 25, 8, 125 : 2° par 5, 9, 11, 99, 57, lOi,.-

3" par 11, lOi, -, 13, 75, 137 ilO' + 1 = 73 X 157|...

VIII. Soit le nombre JV = n + 106 + lO'c + lO'd + .. = 10(t + 10<:+10'rf.. — n(«) + a(»(iO + li = !0(* + lOt' + lO'rf... + flin) — H (ni. 10 — 1| ; ce qui fournit aussi une règle très simple dans la pratique pour trouver les caractères de divisibilité par les diviseurs de mlû ± 1. Exemple par 11. 9, 7, 19, 51, 29

Appliquons par exemple le caractère de divisibilité de 29 = 5.10 — 1 à 108489; on supprime le chiffre des unités simples; 10848 + 3.9 = 10875; on supprime le ctiiffre 6, 1087 + 55= 1102; on supprime le 2, 110 + 6 = 116: on supprime le chiffre 6, H +5.6 = 29; donc 108489 est divisible par 39.

IX. Nous llnlrons cette note par quelques formules générales :

i' Caradcre de dimibililé par B — a— Soit lenombreiV=n + i'B + cB' -{- dB' -\-eB' + ,,.; 0» peut écrire:

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«= S 6 ffi -«} + MB* --•) + rf(B' --')+....

I a + i.^ + ca- + d«' +

Ot B — a, B' — tt'.,. sont des expressions divisibles par B — «, donc N esi divisible par B — « si o + 6" + c«' + ... est divisible par B ~ a; en particulier si a = l , le nombre N est divisible par fî — 1 si la somme des cliifiires du nombre iV est un mulUpie de £ — i .

*> Caractère de divûibililé par B + a. On peut écrire :

^ l b(B + «) + clB'~«') + d(B' + a') +

I a È„ + ta' — rfa' + . ...

En général B'^"' ' + as»+i et 3'" - a^ sont des expressions divisibles par B + a: donc iVest divisible par£ + asi n — ta + c«t — da^ +.,, est divisible par £ + a ; en particulier si a = l , un nombre est divisible par S + 1 si la différence entre la somme de ses chiffres de rangs impairs et celle de ses chiffres de rangs pairs, à partir de ia droite, est ou un multiple de B + i.

3° Caractère de divisibilité pnr B° i r (1).

Si l'on pose fi" — fi', la question est ramenée au caractère de divisibilité par B' ± r qui vient d'être examiné ; seulement il faudra partager le nombre S en tranches de n chiD^ à partir de la droite : la i" tranche a exprimera en valeur absolue le chiffre des unités du 1"' ordre; puis la i' tranche b, le chiffre des unités du 2° ordre et ainsi de suite. On peut aussi raisonner comme suit :

Considérons d'abord le cas ou r est premier avec B.

On peut écrire N = a + bB" + c8"'+ dB'" + : d'où Nr =

B" Ib + cB" + dB- + ) r + fl] - « (»' - r) = fi-'iV — n [B'r);

ou bien Nr= B''[b + cB' + dB'- + .. ■) r — a] +a(B^ + ri = B"N'' +a iB'+r].r est premier avec B, doncaveeJ" et avec 5" ± r: de sorte que iV sera divisible par B" ^ r suivant que N' sera divisible par B' — r ou JV" par B" + r.

Exemple : Soit le nombre 1^7731 ; il s'agit de s'assurer s'il est divisible par9T=10* — 5: nous supprimons la tranche 31 des deux premierschi(h%s

1 i773 1 à droite nous multiplions le reste du nombre par 3 et nous

U6t~ ajoutons la première tranche a = 31 ; nous opérons sur le I9f résultat 4463 comme sur le nombre proposé et ainsi de

97 suite-, le dernier résultat esl 97 divisible par le diviseur

essayé 97 ; donc le nombre est divisible par 97.

(I) Cette question ae trouve au programme de la seconde scientifique.

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SI r D'est pas premier avec S, il ne le sera pas avec 5" ± r et il sera plus simple de décomposer B- + r ea ses fiicteurs et d'appliquer les caractères de divisibilité de ciiacun des Tacteurs.

Enfin OQ peut encore raisonner comme suit : On démontre en algèbre que si (1 - d = D. a~ — r" — D ; puis aa + b = D, (r + b'*=Ô si m est un nombre Impair et a*" — t" = Z» si m est un nombre pair.

Cela posé, posons 5" — r = D-, il vleni B" — r™ = D; donc N= D + a + br + cr' + ....); puis posons !B° + r '= Dalon S"" + r" = l>' si m est un nombre Impair et B"" — r" = D' si ntest un nombre pair; on peut donc écrire:

N '^ D + (a — br + cr' . ...). Si m est un nombre impair, etB= D + (a — br' + (T* — ....)=-=D + (o— 6r' + cr" — ,,.) en posant r' = r'.

Comme application on pourra trouver Facilement les caractères de divisibilité par 99 = 10* - 1, 98 = 10* - 2, ..., iOl = 10* + 1, 102 = 10' + 2

X. Voici une dernière formule qui fournit certains caractères de divisibilité: posons N=lOQ()q + it; et soit xyia un produit des facteurs s, y, z, a tel que xyzu soit de la forme 1000 it + 1; il vient ^ — axjizu = 1000 iq — ak), de sorte que N ei q — ak seront simullanément divisibles ou non divisibles par les nombres x, y, z, ». On peut appliquer celte règle pour déterminer les caractères de divisibilité par 3. 7, 9, 11. 13, 17, 19, 25, 29, etc. Car 7.11.13 = 1001. 9.17.19.43— 125001, 3.25.29 = 2001, 9.11.29.31 = 89001, 7.37.139=36001,3 H,17.« = 23001, etc

Note XXXI (page 55).— u Les nombreux exemples que l'on pourrait citer d'erreurs commises quelquefois par des calculateurs fort habiles, dans la réduction des formules en nombres, doivent faire rechercher avec soin les moyens de vérilier l'exactitude des résultats numériques auxquels on se trouve conduit par une suite d'opérations déterminées. Or, pour que l'on puisse offrir le résultat d'un calcul comme digne d'être adopté avec confiance, ce que l'on doit faire ce n'est pas de recommencer deux fols le mSme calcul en suivant la même route, attendu qu'il est assez naturel que l'on retombe dans une erreur déjà commise; c'est au contraire de tout disposer de manière que, par deux systèmes d'opérations fort distinctes, on doive se trouver ramené à des résultats identiques. C'est par ces mots que débute une note de A. Cauchy \CR A, t. XI, p. 789} consacrée à une méthode nouvelle pour vérifier les opérations fondamenules.

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Elle consiste à former, pour l'addition, la soustraction ou la rnultiiili-

caUon, la somme, la différence ou le produit de ceux qu'on obtiendrait

si, dans cliaque nombre, les divers chiffres étalent considérés comme

reprcseniaiit non plus des unités de divers ordres, mais des iniilés du

même ordre Celte méthode générale sera élucidée au moyen des exemples

suivants :

I.AdiJifion.— Après avolrfail l'addition en ayant soin d'écrire les reports

19837 . . 50 ^>'>' t*"^ "ë"^ au-dessus de la somme, on

30518 . . 17 fait la somme des chiffres de chaque terme

51731 . . 18 et de la ligne des reports ; en addiiionnanl

''"^ ■ • **" ces résultats on doit obtenir la sojnme des

Repor ts 1212 . 6 chiffres du total à vérifier augmentée d'auUnt

ToUl 89158 . . 91 Je dizaines qu'il y a d'unilés dans le chiffre

des reports.

II. Soustiadiou. — PûUT faire la preuve, on ajoute, à la somme des 378910 . . 57 ctiiffres du nombre supérieur, autant de 195525 . . 28 dizainesqu'on a ajoutédefols 10 aux chiffres

Itesie 85387 . . 29 du nombre supérieui' pour rendre possible la soustraction; et l'on ajoute tout autant d'unités simples à la sojume des chiffres du nombre inférieur; la différence des deux résultats doit être égale à la somme des chiffres du reste.

III. ISiUiipticalion. — Cauchy applique sa méthode a la multiplication effectuée d'après la règle indiquée dans la note VIII.

Uulliplicatioa Preuve La disposition du calcul indique