suffisamment la marche à suivre
6^ ■ ■ J^ d'ailleurs pour de plus amples ren-
1521 . . 7 seignements je renvoie à la noie
^6^*^ ■ ■ ^ même de A. Cauchy. (C. it A.,
Produll79458 . . 96 = 6X16 t. XI, p. 793 )
Note XXIII (page 37 j. — Les opérations qu'on effectue habituellement pour décomposer un nombre en ses facteurs premiers sont longues et pénibles, puisque l'on est obligé de faire exactement les divisions de ce nombre, souvent très grand, par une série de diviseurs qu'on essaie successivement. On trouvera dans les Nouvelle) Anmleii de Mathématiques de Gérono et Brisse (1875, p. 325) une remarque d'Edouard Lucas à l'aide de laquelle on peut abréger le calcul d'une manière notable.
;yGOO»^IC
On consultera également avec fruit ud eitrali des comptes rendus de l'Académie des sciences (1878) sur la décomposition en facteurs premiers des nombres 3' .^ 1 par G. de Longchamps. On trouvera aussi un tableau de la décomposillon des nombres de la forme 10' — 1 et 10" + 1 l>ubllé par Ed. Lucas dans le numéro de Juillet 1886 du Journal de Malbémafiquei élémeiiUâres de Bourget (p. 160). H. Brocard s'en est servi pour résoudre le problème suivant : trouver deux ou trois nombres premiers dont le produit se compose de sept, ouïe, treize ou dix-sept fois lechiffre 1. (MatbMK. 1887, p. 75.)
Note XXXV (page 58). — Soit un nombre N => a'b^cy...; il est facile de trouver la somme S des diviseurs, car
-■+1 I |wS+-l|
S=(H-û+ûî+..+fl')(l+t+ft'+...+W)='^;;^X^^-~;... d'après une formule fort simple démontrée en algèbre.
Un nombre parfait est un nombre qui est égal à la somme de tous ses diviseurs excepté lui-même. Exemple ; 6 = 1 + 2 + 3- Un nombre est ^ficienl quand la somme de ses parties allquotes est moindre que le nombre. La formule générale de ces nombres est évldemmait :
2 (a'b^c'...) (n - 1) 6 - 1)... = o" + ^ — 1) ift^+' — «...
Evclide a démontré [Êlémentt, Uv. IX, prop. 36) que si p = 2" ''' ' — 1 «st un nombre premier, le produit P = 2"^ est un nombre parfait; en effet, la somme des diviseurs de P inférieurs à celul-d, savoir :
( y, 2p, 4;»... 2" " 'p est 2* "^ ' - l+p (2" — 1) = 2" + ' — 1 + 2",, 2" -t- ' + 1 = p.
Cette formule donne Immédiatement les neuf nombres parfaits suivants en posant successivement n = 1, 2, i, 6, 12, 16, 18, 30 et 126, savoir :
î'i (jis 1] = 4096 X 8191 = 33560336.
V G oo»^ le
On ne coonatl que ces neuf nombres parfoits. (Seeliioff, ArcAiv. der Malhemaak ùnd Pkytik, de Grnnert, continuées par Hope.1885, ¥ série, U II, p. 327-329); remarquons d'ailieurs qa*on n'a jamais pu démontrer qu'il n'y a pas de nombres parfoits impairs.
Piusleurs auteurs se sont occupés de ces nombres; on trouvera quelques-uns de ces travaux dans la Malhétis de MM. P. Maiision et Neuberg, années 1886, 1887, 1889. Juies Canallo a publié, en 1883, une théorie des nombres parfaits. Nous finirons ecttc notice par une propriété très curieuse de Kraft {Mimmret de PHeribourg, 1754) : si, dans un nombre parfait, on ajoute ensemble tous les cbilTres, on obtient un second nombre ; si l'on a fait de mSme pour ce second nombre on obUenI un troisième nombre qui est divisible par 10.
Des nombres sont amiables entre eux quand chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs de l'autre, il n'y a que trois couples connus de ces nombres : ce sont 220 et 284, 17926 et 18416 enfin 9363584 et 9437056. Ils ont été donnés par Sehooiea. La théorie de ces nombres appartient i l'arithmétique supérieure.
Emile Lemoine a étudié, dans une note présentée au congrès de Rouen, en 1883, et i celui de Blois. en 1884, organisés par l'Association française pour l'avancement des sciences, quelques propriétés de nombres qu'il appelle connexa iiotitifi : si l'on désigne un nombre entier quelconque par K et par k le nombre entier formé par les mêmes chiffres mais dans l'ordre Inverse, et si l'on a K+ a = k + h alors X et H sont deux connexes positifs.
Les nombres harmom^tM sont ceux formés uniquement des facteur» premiers 2, 3, 5 ei dont la formule générale est 9''3''5°.
Les nombres fnangslatreadont la figure ci-dessous donne la signification.
Note XXV (page 67). — Un ancien bénédictin, Bardel, a fait remarquer l'IdenUIé guivanle: -|- — -^ = 'L l^^'i^' l''-° i. lorgquj g et b, c et d diffèrent peu, le numérateur du second membre est plus bdle ï effectner que le numérateur ad — be. {C. R. A., t. 1, p. 44.)
V G oo»^ le
Note XXVI (page 74). — Il est facile de vériBer la formule :
o = /'3a+ by |h - o)' b \a +'3b/ b [a + 3!i|t
et si fl< b, ^-^ est une valeur approchée de y -" ; la différence est d'autant plus petite que les termes sont plus grands et que leur différence
est plus peUte.
Exemple : Soit Vî^^; par la formule on trouve ^=-0,99798 exacte jusqu'aux cent millièmes inclusivement.
Note XXVII (page 83.) — Toute fraction ordinaire est la somme d'une iDQnité d'autres. Exemple : Soit la fraction - ; on peut la décomposer en une infinité de fractions de 3 en S fois plus petites-, en effet le quart de 3 est aussi le quart de y ou -^ plus le quart de -^ ou -ig ; le quart de ^ est ^ plus le quart de ^ ou ^; et ainsi de suite; donc
i^i + l + è + - ^ '■""''"'" "^^ '"^'ne-fl-= w+i^+i-^+-;
et. en général, -f = ^-^-^ + -,^^^ + ^
C'est évidemment la généralisation d naire en décimales.
X l'exception de la fl-action ~, les Grecs n'ont longtemps et exclusl- Tsment employé dans leurs calculs que des fractions ajant l'unllé pour numérateur. D'après cela, au lieu de ^ Us écrivaient ., + ^+ j^ +jn-
Note XXVIII (page 85). — I. Certains auteurs démontrent, de la manière suivante, la formation des fractions génératrices :
Soit X = 0, abe...abe...]}ne fraction périodique simple dont la période an chiffres; on ann I0"x=abc,..,abc... abc...; d'où Hù^—l)x=abc...: ce" qui démontre la règle.
Soit x= 0, pq... abc... abc... firacdon périodique mixte, dont la partie irrégulière a n chiffres et la période f> chtSl«s; on aura successivem^t:
:vGoo»^lc
40^4 »j; — pç,.. abc..., abc... abc...
iO"*x = pq ..,abc... —abc...
D'où 10*" (10" — i)x = pq... abc... — pq... formule qui démonlre aussi la règle.
Ce procéda permet de calculer certaines sommes dont les termes se forment les uns des autres, à l'iaflni, d'après une loi constante :
Exemple* ■■t'^='i + -ï-+ïï+j7 + ■■■■ il vient ir — 2= 1 + y + ^ ... = j;; d'otii — 2 = et j; = 2.
d'Où 100j:= 1,020304 ei99j'= 1,010101... — 1 ^,doncx=^.
5°a: = 0,01'02 05'05'0813 2l 34 5S... dans laquelle chaque tranche à partir de la troisième, se forme par l'addition des deux précédentes îles tranches peuvent avoir plus de deux chiffres),
On a lOOa: = 1,02 05 05 08 13... d'où 99i = 1,0101 02 0305...-, puis 990O:f = 101 ,01 02 03 05.. d'où 9900^:— j- = 101 ; donc a- = ^.
II. On démontre facilement que toute fraction ordinaire dont le dénominateur est un sous-multiple d'un nombre composé de 9 seulement, est une fraction périodique simple dont chaque période a m ctiiffrcs; en effet. ^ - ^^^^ = iV(iO'-- 1) - ' = i^ + ^j^ +
III. On trouvera dans la Malhêih (1881, p. 105). une théorie complète des fracllons périodiques par M. Mansion. professeur à l'Université de Gand. 11 démonlre d'abord r|ue toute fraction périodique a une génératrice commensurable. postulat admis par les auteurs sans être énoncé explicitement et dont on peut tirer cette conclusion Importante qu'un nombre incommensurable ne peut donner naissance, par approximation indéfinie, à une fraction périodique ; ensuite, qu'une fraction décimale a pour limite la fraction génératrice et qu'elle n'en a pas d'autre, ni commensurable ni Incommensurable. Enfin, ayant remarqué qu'une fraction décimal» limitée et une fraction décimale périodique (0,To et 0,7499 .. par exemple) peuvent provenir d'une même fraction ordinaire. 11 établit que la réciproque n'existe pas, c'est-à-dire qu'une même fraction ordinaire ne peut donner naissance à deux fractions périodiques distinctes.
iV. On lira aussi avec fruit la in^me théorie dans l'excellent traité, d'A. Faifofèr, Eletumli d'Aritmelica (1881) : la théorie des fractions périodiqties.parH. Catalan (JV A M., 1842, p. 457); la réduction des fractions ordinaires en décimales par Aug. Bouché [Hi A U., Bulletin bUiliographUitK,
1857. p. 33); qusiques théorème* par M. Thibault (y A M., 1843,p 80), et par M. G. DeConinck {N A M., 1816, p. 597J; un théorème sur les fractions périodiques dont la génératrice a pour dominateur un nombre premier (iV A .V., ISiti.p. 597): eniin une note par ûnmnref sur la délerminatioD du nombre des cliiffres de la période [C R A.,L XX, p. 105). V. Nous donnons ici quelques propriétés intéressantes: SI l'on divise successivement l'unité par 9 et par une suite de nombres se terminant par un 9 comme 19, 39 99, 109, 119.... 999...., on
aperçoit entre les dlfTérentes Tractions décimales consécutives une sutl« de relations dont la loi estsimple el d'où il ressort un procédé de division rapide :
Dans le cas de -^ le premier chiffre décimal est 1 et chaque chlffiresuivant est égal au précédent divisé par 1 ; dans le cas de jâ, on divise 1 par 2, ce qui donne OS, puis on divise 5 par 2, ce qui donne 3 avec Ifr reste 1 ; on divise 12 par 3 ce qui donne 6 avec le reste ; puis on dhise- 00 par 2 ce qui donne 3 avec le reste 0, etc. ; dans le cas de ^, oa divise 1 par 3 ce qui donne 03 avec le reste 1 ; on divise 13 par 5, ce qui donne i avec le reste 1 ; on divise 14 par 3, ce qui donne 4 avec le reste 2 ; on divise 24 par 3, ce qui donne 8 avec le reste et ainsi de suite ; pour ^ on divise 1 par 4, ce qui donne 02 avec le reste 2 ; on divise 22 par 4 ce qui donne 5 avec le reste 2 ; on divise 25 par 4, ce qui donne 6 et ainsi de suile, pour ^, ^ ... ^, ~ . . ~, gg ... ^. on opère successivement avec les diviseurs 5, 6 ..., 11, 1 j ..., 20, 21 ..., 100. Pour les dénominateurs 199, 299, .. , 1999, pour lesquels il faut employer les diviseurs 20, 30... 200, il sufSt évidemment de diviser par 2, 3,.. de* tranches de 2, 3... chiffres. Pour la théorie de ce procédé nou»
:vGoo»^lc
renverrons à un mémoire de Cauchy inUtulë : Sur tes moyens de vérifier m de umpUfier Ira diverae$ opératiom de rarithmélique déeànate. (C R A., 1811, t. XI, p. 895.)
VI. Quaud le déoomiDaieur d'une TracUon — est un nombre premier, lesfractlonsdécimalespériodiquesprovenantdesfracUons.^, -^, ... '—se composent des inSmes chiffres et des mêmes périodes mais ne cornineaçant pas au même chiffre décimal. Exemple: ~ =0,US8S71i38... la période est 143857 commençant au clùffre 1 ; -^ = 0,285714385714... la période commence au chiffre 2 et elle est 38S714, elc, etc. Il y a ainsi un très grand nombre de propriétés fort curieuses quand u est premier. iVoir GoodnyD. A flrst ceniinaiî.l
VII. Si la conversion d'une fraction irréductible en fraction décimale donna une fraction périodique, la période est la même, quel que soii le numérateur de la fraction génératrice. H. Sornin s'est occupé de la recherche du nombre des chiffres que fournit à la période une fraction ordinaire réduite en fraction décimale. (iV A M., 1818, page 50.)
VIII. Soit la fraction — qui donne la période P de t: chiffres; on a iO'^ — \=nP; donc pour trouver le nombre ou les nombres 11 qui donnent une période de k chiffres. Il faut chercherions les diviseurs de lO' — 1 ou de '-2^^' = 111... ;*:foi8lechlffre It.Parexemplesi t = l.n = 3 ou9:8i fc=2, H = H. {JV A M., année 1855. p. U5, Il8el255.)
Note ZXIX (page lOI). — U est utile pour comprendre les livres des auteurs anciens, de connaître les noms qu'ils employaient pour
désigner certains rapports : le »e»qui-attère était le rapport de deux quantités dont l'une contient l'autre une fols et demie ; le xesqai-double dont l'une contenait l'autre deux fols et demie ; sesqui-lieree, trois fols et demie, etc. Deux quanlilés ilaieni dites en raiioti souii-doalilée de deux antres' quand leur rapport était égal à celui des racines carrées des deux autres. La raison triplée de deux uombres est le rapport de leurs cubes.
On considérait autrefois plusieurs espèces de proportions : la proportion discoHiiatte, la proportion par égalité, la proportion ordonnée, la proportion troublée, enlln la proportion )iariaoiiiqu<f.
On dit que trois nombres a, h, c sont en proportion harmonique quand a — b : b — c = a: c; elle est ainsi appelée parce que si l'on fait vibrer la corde d'un instrument à cordes, puis ses -^, ses ~, les trois tons
qit.7eribvG00»^IC
obtenus sont ceux qui composent l'accord parfait majeur, si on les entend simultanément; et les nombres i, -^, -^ forment une proportion harmonique.
On peut démontrer que l'inverse de la moyenne harmonique est égale à la moyenne arithmétique des inverses des deux extrêmes a et c, c'est-à-dire que -^ = ^ (ô" ''" t)'
Les mathématiciens désignaient jadis les changements dans l'ordre des termes d'une P. G. par des noms particuliers ; c'est ainsi qu'ils nommaient aiternando ou permulaiido la iransposiUon des moyens entre eux et invertendo, le renversement des rapports qui a lieu quand on met les extrêmes à la place des moyens. (Dictionnaire de Montferrier, article fropoHion.)
Note XXX (page 108). — Dans la C. If. P (1825. p. 33}, on trouvera une note assez étendue sur la règle de trois dans laquelle on indique le moyen très simple suivant de savoir comment doivent être disposés les deux termes de chacune des fractions : examinez successU vemenl si, dans la supposition que chacun des nombres donnés qui entrent dans la seconde partie de l'énoncé deviendrait nul, le nombre cherché devrait être nul ou infini ; le nombre dont il s'agit, devra être numérateur dans le premier cas, et dénominateur dans le second.
Note XXX'^ (page 115). — Dans les banques irançaises, on calcule généralement l'Intérêt au taux de 6 °U, et l'on fait ensuite la conversion si la valeur est à un taux différent : à 3 "/„ on prendra le tiers du 6 "Ib, à 5 la moitié et ainsi de suite.
On peut aussi calculer les intérêts par le divitew fixe ; c'est le dénominateur d'une fraction ordinaire ayant l'unité pour numérateur et représentant l'intérêt d'un franc en un jour au taux donné. Exemple : 6000 est le diviseur fixe du taux de 6 "/„ ; connaissant le diviseur fixe, on trouve l'intérêt d'une somme en la multipliant par le nombre de jours pendant lesquels elle est productive d'intérêts et en divisant le produit par le diviseur Axe.
Ces méthodes sont surtout utiles pour établir facilement les comptes courants dans lesquels les sommes sont productives d'intérêts (i)
(I) Voir Uipp. Ollevuere, De* eomptet courant» etdintéril» (lt!90i.
V G oo»^ le
Vota XXXI (page 145). — Ce problème esi résolu d'une roaQière différente dans raritbméUque d'Enler; rolci ta solution qu'il donne: formons d'abord le rapport composé de 2 : 1 et de 5 : 7; c'est 10 : 7, dans lequel l'exeés de Tinlécédent sur le conséquent est 5 ; on multiplie ensuite lea deax termes du rapport 5 : 7 par 3i ; on h 120 : 168. et l'excès du second terme sur ie premier est 4S ; on multiplie les deux termes du rapport 1:2 par 48, on a 48 : 96; enQn, l'on divise les deux termes de ce dernier rapport par l'excès 3 trouvé plus haut, et l'on obtient 16 : 32 pour l'âge des deux personnes, il y a 24 ans. Euier ajoute « avec un peu d'inlelilgence on découvre iacllemenl la raison de ces calculs n.
Note ZXXII (pages 159). — Lucchesinl présenta, en 1839, à l'Académie des sciences de Paris, un mémoire dans lequel 11 exposait d'abord les principes d'une mélhode nouvelle pour résoudre les problèmes d'arithmétique par un système uniforme d'opérations ; elle consistait à réduire toutes les questions d'arithmétique à la forme de 3 termes d'une proportion dont le 4* est l'inconnue. Au fond cette méthode revenait à la règle de trois. (C ft A, t. XI. p. 476.)
On trouve dans les ouvrages consacrés par les anciens auteurs Ji l'aritiimé tique un grand nombre de problèmes présentés sous une forme plus ou moins originale dont quelques-uns ne peuvent être résolus que par titonnements et dont les autres sont Indéterminés.
Voici quelques questions de ce genre tout en reconnaissant que ce genre d'exercices ne donne guère de satisfaction â l'esprit.
Problème I. — Un nombre est compote de troia cM/fre»; iei detix à droile lonl égaax; qsaad ce Honore atrelouraé, il vaut 19 utiiléi de plus qw le double du nombre primtif; et quand oh chance teulement la deux chiffres à gauche, il vaut 17 taitii de moint que le dovbte du nombre primilif. Quel ett ce nombre t
Solution Note. — Nous employons les abréviations suivantes :
Le cfaiflre des unités u
Le chiffre des ceiUaines c
Le nombre cherché N
Le nombre renversé R
Le nombre quand les deux premiers chiffres à gaucbe sont déplacés N
V G oo»^ le
[. Le double de iV est un nombre pair et en ajoutant 19, nombre imy&ir, on doit obtenir un nombre Impair; donc R est inpair, d'ob c est Impair.
Le double de N est pair et en retranchant 17, on doit obtenir aussi un nombre impair; donc D est impair; or, quand on a déplaça les deux premiers chifTreB à gauche, u est resté le même ; donc u est impair.
Conclusion : n et c sont impairs.
IL 2iV + 19 = fl et2.V - 17 = D;
Par conséquent :
1» R > 2iV.
Or. 2.V renferme au moins ic centaines et R renferme u centaines, donc B ■> 2c,
2''R — 0= 19 + 17 ou 56, doue aussi (R — S) — {D — N) = 36 {principe fondamental de la soustraction .
U est facile de trouver que R—Oi = 99 (a — c) et — N= 90 {u —c) donc 9 (u — c) = 36 d'où a — c = 4,
Il est ainsi prouvé que K^2cet« — c = i\ d'après cela on ne peut faire que les deux hypothèses :
c = I et M - 5 c = 5 et M = 7
La première doit être écartée, car 2 X 155 + 19 est différent de R ou 5SI ; mais la deuxième est exacte, car 2 X 377 + 19 = 773 ou It et 2 X 577 — i7 = 757 ou D.
Problème II.— ISckréliena et 15 titrcg k Iroavent mr vier dans m même navire. Il survient une tempête; et après qu'on eut jeté à teau toutes les marchandiges le pilote annonce qit'il n'y a de moyen de se sauver qu'en jetant encore à Ut mer la moitié des personnel. Comment faitt-il disposer les 30 personnes en une rangée, de manière qu'en les comptant jasqa'à 9 et jetant le 10° par dessus bord, continuant de compter jusqu'à 9 et revenant au 1", lorsquele dernier a été compta il reste i la (In les 15 chrétiens? (1).
< I) Problème tlu genre de ceux qu'on appelle <Ie d^igulai en Toici un du même
?eiire : crnL hommes étani disposés sur un rang, on fait sortir du rang le l" le 1', le H'.,. le SI'; puis on fait serrer le ring. On recommence l'appel de la même manière et l'on continue ainsi de suite jusqu'à ce iju'il ne retle plus que que possédaient cei homme» dans le rang
Solution. — On trouvera facilement sans le calcul, ea exécutant mécaniquement les conditions imposées sur des unités disposées suivant l'ordre
])rescrlt, qu'en désignant par ctl l un cliréiien et un turc, il faut ranger les 50 personnes comme suit :
cctccccittttccticcctclcttcltct
Problème lil. — Une penonne veut acheter quatre litres de lait, mtâ$ la laitièren'a que trou cruches, que nous déMunerons ]iar A. D, C dont la première peut contenir 8 titres, la deuxième 5 et la troisième 3. — Comment doit-elle s'y prendre ?
Solution. — 1° Remplir A, remplir C avec A et puis B avec C : Il restera 5 litres dans A. ô dans B, et C sera vide.
i" Remplir C avec A et aciiever de rempili' B avec C : A contiendra 3 litres, C un litre, B sera plein.
3° Vider It dans A et verser le contenu de C dans S, il y aura 7 litres dans A. un dans B, C sera vide.
i'' Remplir C avec A : il restera i lilces dans A (I)
Problème \\. —On propose d'iaire \'lenombre\ aveeZclùHresimptàrti le nombiv 100 avec 4 chiffres impmr» ; Ô° le nombre 100, de nombres qm se forment a» moyen des dis chiffres employés une seule fois chacun f
Solution. — 104 = 5 3 ; 2M00 = 99 ■^; 3M0O — 98 + 1 + ^ + .*+U=89+4 + 6+-j- + |=(9X8) + 7+6-|-5-i-4 + 3 + 2 + 1+0.
Problème V. — Êciire les nombres dans les cases d'uu carré de manière qu'en les prenant dans une ixionne verticale, une rangée ftorisontnle ou une diaijo«ate, en otl toujours le même total ou le même produit.
Solution :
l. CAHRË UDITIF II. CARBÉ HULTIPI.ICATIF
ils
La somme est 1 9
dans tous les sens
Le produit est 551U1 dans tous les sens. .
V G 00»^ le
C'est ce qu'on appelle des cairds magiques ou mereetUeux. RemarquoDS que le premier earr^ reste magique si l'on ajoute un même nombre à tous les nombres, ou si oo les multiplie par un même nombre; il y a une transformai on correspondante pour le second cairé.
On a donné, dans raniiquité. une importance symliolique à ces combinaisons qu'on retrouve dans presque tous les talismans; des volumes entiers ont été écrits sur cette matière. Euler s'en est occupé et bien d'autres mattiématiclens : Frenicle, Sauveur, Violle, Tliompson, Horner, Laquière, Frolow, etc., etc.
Daus une note sur la partition des nombres. P. VolpicelH étudie les propriétés d'une série de nombres entiers consécutifs disposés de manière à ce que leur ensemble luésente ia forme d'un recUngle. (C R A, l. XLIV, p. 688.)
Dans les œuvres de Léonard de Pise, on trouve plusieurs problèmes sur des oiseaux; voici une de ces questions :
Quelqu'un achète des rRoiiteaux, des tourterelles et des colombes, en tout 50 Mseaux pour 50 dealers; 5 moiiteattx coûtent 1 denier, de même i tourterelles; et une colombe eoitle 2 denierg. Ou demande combien il g tumt d'oiseaux de chaque espèce.
Solution de Léonard de Pise. — J'ai posé d'al>ord 50 moineaux pour 10 deniers, et J'ai mis de cf>lé 20, différence entre 50 et 10, et j'ai changé un des moineaux eu tourterelle ; l'augmentation par suite de ce changement est d'un C" de denier; car le moineau coûte un tiers de denier et la tourterelle un demi-denier, et y — ^ est -jt- ; j'ai changé derechef un moineau en colombe et j'ai gagné par ce changement i -j denier, diiTérence entre 2 deniers et un tiers de denier; je réduis le tiers en sixièmes, on obtient -^. Je dois aussi changer les moineaux eu tourterelles et en colombes jusqu'à ce que j'obtienne les 20 que j'ai réservés ci-dessus ; je réduis ces 20 aussi en sixièmes et l'on a — que j'ai divisés en deux parties dont l'une puisse se diviser intégralement par 10 et l'autre par 1. et la somme des deux diviseurs ne doit pas surpasser 30 : la première e«t HO et l'autre lO; j'ai divisé la première partie, savoir HO. par 10 et la seconde par 1. et j'ai eu 11 colombes et 10 tourterelles, lesquelles retranchées de 50, nombre des oiseaux, il reste 9 pour le nombre des moineaux, et les 9 moineaux valent 5 deniers, les 10 tourterelles 5 deniers, les 11 coloniiies 33 deniers ; on a ainsi 50 oiseaux pour 30 deniers.
V G oo»^ le
Léonard prend ensuite les m£nies données, mais en remplaçant 30 par S9; il trouve deux solutions :
Colombes tourterelles moineaux
11 ou 10 6 ou 16 12 ou 3;
puis il remplace 30 par 15; il démontre que la solution n'est possible que pour un nombre fractionnaire d'oiseaux, savoir 3 -^ colombes, 5 tourterelles et i ,- moineaux. Il ramène toutes les questions sur des oiseaux à partager un nombre entier en parties divisibles chacune par un nombre donné, et la somme des quoUents ne doit pas surpasser un nombre donné ; mais 11 ne donne pas la règle pour opérer une telle décomposition et 11 flnil par ces paroles : et tic pouumui in nmitiimt etjam in contotamine monelarum et MamftoriKRt operari, qaod qaandoqiie plactieril DomimtwBx Yeetra liqvidiut deckrabo. {N A M., bibliographie, 18M, p. 55).
On trouve aussi dans les anciens auteurs des règles pour deviner an résuilïi, voici deux de ces règles:
l' Oadità me penoane: petuti un nombre; doubiez-le; ajoutez-y i; prenez la moitié du tout; retranchez le nombre pensé 11 doit toujours rester 2.
â° Pentez un nombre ; triplez-le ; prenez la noilii it le triple ett pair et la Koilié du triple plut un t'il ett impair ; triplez de nouveau le résultat ; divisez ce nombre par 9 tant tenir compte du reste.
Solution. — Le nombre pensé est le double de ce quotient ou le double augmenté de un suivant que le triple était pair ou impair.
Voici encore un exemple : une personne a ttn nombre pair de jetons dans une muia el an nombre impair dans l'autre; il faut deviner data quelle mais est le nombre ptàr :
On &it multiplier le nombre de la main droite par un nombre pair quelconque, et le nombre de la main gauche par un nombre impair; on dit d'ajouter les résultats et l'on demande le chiffre des unités de la somme: 1° s'il est Impair, le nombre pair est dans la main droite; ** s'il est pair, l'impair est dans la droite. C'est ce qu'on démontre Eicilement.
Euler donne un grand nombre de questions de ce genre, mais celles rapportées ici suffisent pour indiquer comment on peut en créer d'autres à volonté.
A titre de curiosité ïoicl encore quekiues pi'oblèmes rédigés eni
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BACCHUS ET SILËNE.
Baccbus, ayant vu Silène Auprès de sa cuve endormi.
Se mit i boire sans gËne Aux dépens de son ami.
Ce jeu dura pendant le triple du cinquième Du temps qu'à boire seul Silène eût employé : Il s'Cveille bientôt, et son chagrin extrême Dans le reste du vin est aussitôt noyé.
S'il eût bu près de Dacchus même, l\s auraient, suivant le problème.
Achevé six tieures plus lût; Alors Bacclius eût eu, pour son écot,
Deux tiers de ce qu'à l'autre il laisse.
Ce qui maintenant m'Intéresse Est de savoir, exactement.
Le temps qu'à chaque drôle il faut séparément Pour vider la cuve entière, Sans le secours de son digne confrère.
Cet énoncé fut communiqué à M. Catalan par le savant professeur et philologue Vincent. On en trouve une version différente dans les Probtèmet plaisanls et délectables de Dacliet. Voici la jolie réponse que, vers 1818, un élève du lycée Charlemagne, à Parts, donna à la question :
Dans celte occasion Silène eut tout i'bonueur. En quinze heures Baccbus acheva la besogne ; Il n'en Fallut que dix au digne précepteur :
J'en conclus qu'il était de molUé plus ivrogne.
LE VOL DE CONFIANCE, par M. Viteet.
Uon fût, d'un hectolitre, en ses flancs contenait
Du nectar de Bourgogne; Chaque soir, au sellier, depuis des jours venait
Mon domestique ivrogne,
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Oui, tirant, sans mot dire, un litre du tonneau.
Puis, cacliant sa vergonne, A la place du vin mettait un litre d'eau.
S'arrosait le gosier et colorait sa trogne.
Aglt^ de soupçons, sur le soir d'un beau jour,
J'arrive à la sourdine :
Je descends dans ma cavs. où j'aitrape ii mon tour
Le drOle qui rapine Ah ! pourquoi n'ai-Je pu faire alors son portrait !
Quelle pileuse mine!
Il se rendait justice, et sans doute augurait Que j'allais, d'un gourdin, lui caresser réchlne.
Pauvre caille au Dlel, corbeau devant l'autour.
Il tente une prière; 11 bégaie en tremblant un aveu sans détour
Qui mouille sa paupière.
Mais je reste inflexible; il le mérite bien;
Et sur ma dette entière.
Pour le vin qu'il m'a pris, je retiendrais combien. Si l'hectolitre vaut cent francs à la barrière?
Réponie : 9,S6 francs.
When Qrst Ihe Harriage-Kaot was lied
Between my Wife and me,
Uy Age did her's as far exceed
As three Times ihree does tbree;
But when teu Years, and half <«ii Years,
We Man and Wife had been,
Her Age came ap as near to mine
As eight îs 10 sixteen.
Now, tel] me, I pray,
What were our Ages on the Weddiog Dayl
Charles Vtse.
(The tator'i Guide, bàng a complète syttem ofmthmetic, Londres 4799.)
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Hulus porUbat vinum comiuius Asella ;
Hxc oneris queritur pondéra vasta sui :
(Ile graves mairis gemitus miratur, inquit :
Cur adeo tacrymis lumina mœsta fluunt?
UollUies teneras, mater, decet illa puellas :
Quss premlt Insuetus debilllatque labor
l'oam mensuram si nostros Tundis In ulres,
[pse tui vint pondéra dupla feram :
Sin unam coDtra nosiro de faace lenabis
Ponem, tune leqiium poodus uterque feret.
Die mitai mensuras, b docte Ceometer, Islas?
Non aliter Phœbl nomlDe dlgnus eris.
JoACHiH Kei.ler [svi° slècie).
' Le problème suivant a été posé en France aux examens de Jeunes filles : Si i chiens de chasse a?ec 16 jambes peuvent attraper 29 lapins avec 96 jambes, en 44 minutes ; combien de Jambes faudrait-Il aux mêmes lapins pour échapper en T minutes 30 secondes â 8 chiens de chasse ayant 52 Jamb«s?
' Note XXXIII (page 188).— Il fondrait un gros volume pour indiquer toutes les mesures de capadté ; ainsi, à Gand, il y avait de nard-maieri pour le froment de 2S,92 litres ; le beirleggers de 3S,72 I ; la mesure d'avoine de 38.06 I.; la mesure pour le charbon de bois de 26,12 \.; la menirB «ir le port pour le charbon de terre de 28,951.; la mesure dite tachmaai de 36,32 I. aussi pour ie charbon de terre ; le hu de 25,72 I. pour les cendres; la mesure pour les moules de 51,81 1. ; le tonneau pour les pommes de 79,171.; celulpour les noix et les marronsde 73,561.; celui pour la tourbe de 65,48 1. ; celui pour les oignons de 55,0S 1. ; le iieKien de 6,45 l.pour la vente en détail des oignons; la mesure de 35,92 1. servaut aux détaillants du sel ; celle de 40,29 I. pour le sel brut; celte de 54,36 I. pour le sel blanc, etc., etc.
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Note XXXrV (page 493). — Prindpale» mesures grecqius el ronuma.
