V, Le produit de deux facteurs ne change pas quand
on intervertit l'ordre des facteurs.
Séaumlratieri. — Soit U produit de S par 4 ; il faut démoDlxer cju'iieitt égal k celnl l 1 1 1 1 ^» * P" 5 Ecrivons sur une liçne autant d'unités qu'il y en a dans le , , , , , nombre S ; plaçons ensuite autant de ces lignes les unes sous les antres 1 1 I 1 1 *'"'' ^ " *''"'''^' ^"^ '* '">"''" * ; oi 'oit ïinsi QHB le nombre total , , , , , de CHS unitéi peut être obtenu aoit en prenant i foia S, soit en prenant ' " ^ ' 5 foie 4. (Note VI.)
67. VI. Quand le multiplicateur peut être décomposé en un produit de deux facteurs, on obtient aussi le produit en multipliant successivement le multiplicande par chacun des facteurs du multiplicateur.
Démanitrattaa, — 2i est le produit de 6 pur i, et pour mnltiplier un nombre 7 par exemple, par 24 on multipliera d'abord T par 6, puis le résultat par t ; en eflet, on aura ainsi 4 fois 6 nombres ou 24 nombres égaux à 7.
68. Vil. Quand on multiplie l'un des facteurs d'un produit par un nombre entier, le produit devient ce nombre de fois plus grand ; et réciproquement pour obtenir un produit un certain nombre de fois plus grand, il suffit de rendre l'un des facteurs ce nombre de fois plus grand et de conserver 1 autre facteur. On pourrait établir des principes analogues pour des facteurs un certain nombre de fois plus petits.
Sémanilratùin, — Le produit de 7 par 24 est 4 fois plus grand que celui de 7 par 6, car pour avoir le produit de 7 par 24, on multiplie d'abord 7 par 6 et puis le résultat par 4 ; de mime le produit 28 par 6 est 4 fois plus grand que 7 par 6, car 28 par 6 = 6 par 28 et l'on eet ramené au ca» ptéoédeut, La densiéme partie est évidente.
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70- Première règle. — Pour multiplier un nombre entier -par 10, 100. ., ou bien eii général par un nombre formé ■du chiffre 1 suivi de zéros : on met à la droite du multipli- ■cande autant de zéros qu'il y en a au multiplicateur.
Démomtration. — Cetta règle a'sst qu'uoe Bpplîtntion da principe fondamental -de U numéralioa écrile.
71. Deuxième règle. — Pour multiplier un nombre entier de deux ou de plusieurs chiff'res par un nombre cPun seul ■chiffre : oq multiplie successivement par le multiplicateur, en commençant par la droite, chaque chiifre du multiplicande ; on écrit les unités de chaque produit et l'on ajoute les dizaines au produit suivant.
DéiitoHttraiïaa. — Cette régt« résulte immédiatement de cette remarque que U mol' Uplication par un nombre entier n'eat qa'une addition abrégée.
72. Troisième règle. — Pour multiplier un nombre entier quelconque par un nombre entier composé de deux ■ou plusieurs chiffres : 1" on écrit le multiplicateur sous le multiplicande; 2" on tire un trait sous le multiplicateur; -3" on multiplie successivement, d'après la deuxième règle, le multiplicande par chaque chiffre significatif du multiplicateur, «t l'on écrit les produits partiels les uns sous les autres de manière que le premier chiffre de chacun d'eux soit placé dans la même colonne que le chiffre du mullipticateur qui adonné le produit ; 4° on additionne les produits partiels.
LémmitTation. — Soit à multiplier 34034 par 8076 ; c'est prendre 8076 fois 35081 ; «r, 8076 = 8000 + 70 +- 6, on prendra donc séparément 8000 fois, 70 foi» et 6 fois le multiplicande dana l'ordre qu'on voudra [deuiitme princ. fond.), puis on additionnera les produits partiels. I^ produit par 6 s'obtiendra an moyen de la deuxième rè^e et lea produila par SOOO et par 70 an moj^en de la même règle combinée arec la première et avec le sixième principe fondamental.
REMARQUES
73. 1. Il est d'usage de faire les multiplications partielles en commençant par la droite du muluplicateur, il y a pourtant des cas particuliers où il vaudra mieux suivre un autre ordre. Par exemple soit à multiplier 83725 par 12144 ; on
remarquera que 144 -= 12 x 12 ; on multipliera
83725 d'abord le multiplicande par 12 mille, ce qui
12144 (Jonne le produit partiel 1004700 mille ; puis on
1004700 prend 12 fois 1004700 ce qui fera 12 X 12 ou
12056400 144 fois le multiplicande 83725 et ce qui donne
— 101 «756400 le produit partiel 12056400 unités simples ;
enân l'on additionne.
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74. II' — Oa peut mati, qiuad on «st au feu habile, tronvei le produit de dtni
ftcteurs entiers quelconque» srdb écrire les produits partiels. Par esemple : boÎI S28 il
mnltiplier par 647 ; on dit 7 X S = S6 ; on écrit le cliiffre des unités 6 : les diiaine»
do produit sont données par lea deui produits 4 X * et 7 X 2. dont la
3 2 S somme est 46 ; en y joignant 6 pour la retenne. on trouve 61 dizaines ;
647 le chiffre dea disainas eat donc 1 ; lea centaines sont fourpies par lea
2 12216 ' 3 produits 7X3, 4X2 et 6X8 ansemble 77 et fi de retenue ; on a
en tout 82 centaines ; le chilTre des ceuUires eM 2 : lea mille s'obtiennent
par 4 V 3 -I- 6 X 2 = 24 et B font 32 ; le chif&e des mille est donc 2 ; les centaine»
de mille 6 X 3 — 18 plus lea 3 de retenna donnent 21. On a ainsi le prod ait demandé-
qui est 212216'.
75. Quatrième règle. — Si l'un des deux facteurs d'un produit, ou tous les deux ont des zéros à droite, on fait la multiplication sans faire attention aux zéros ; mais après l'opération on écrit à la droite du résultat autant de zéros qu'oft en a négligés dans les deux facteurs réunis.
JUmanilratiaii . — Par eiemple : si l'on n^lïge trDÎi zéros an multiplicande, ce nombre est devenu lOOb fois plus petit et le produit est aussi 1 060 fois trop petit (7" princ. tond.); et ai l'on néglige deui zéros au mnltiplieatcnr, le prodoit eat eaeoro 100 fois plue petit; donc pour avoir le produit eiact, il Faudra le rendre 1000 fois plus grand, puis lOO fois plus grand, ce qu'on fera en écrÏTant tl a» droite autant de zérosqu'il j en avait dans lee. deui facteurs réunis.
76. Mithodi abrlgii d'Oughlrid. — Qnand on est conduit ï multiplier entre eux desnombres très grands, il sufËt ordinairement de connaîtra le produit ï une unité près d'un ordre donné ; on peut alors opérer comme suit :
1" On écrit le chiffre dea unités simples du multiplicateur sous le chiffre du multiplicande qui représente des unitéa dii foia plus petites que celles qui eipriment le degré d'approximation demandé et on écrit lea autres chiffres du multiplicateur dan» l'ordre inversa de celui oii ils sont; s'il ;b alors dea chiffreadu multijjlicateurau'deeeusdesquels il n'y a paa de cbilfres du multiplicande on remplacera les chiifrea manquants par des zéros ; 2" on multiplie le multipticando par chaque chiffre significatif du multiplicatenr, en commençant chaque multiplication par le chiffre du multiplicande qui est au-dessus du chiffre du mnltlplieslcnr, et en tenant compté des unités du même ordre qni pourraient refluer de la multiplication du chiffre suivant à droite du multiplicandepar le chiA« dn multiplicateur ; 3° on écrit tons les produits partiels les uns sous les antres, de manière que le dernier chiffre i droite de chacun d'cL
colonne et on EzempU.
par68S9S7.
Méthode o
lesadd
-Soit
rdiuaiie
ionne ; 4" on supprin trouver, a une conta
e le dernier chiffre ne de miUe prÈs,
Méthode abrégSe.
tl droite de la somme, le produit de 759307&
3796Sil900
1. Cette méthode a été donnée par M. Hilf dans un ouvrage intitulé le Calent itm^ chiffra, méthode qu'on dit avoir été plne aucienuemeut exposée par le professeur Ouïs dans ses legoas orales à Lafbach.
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PouT te rendre compte de cette règle, on remarquera que, grice i la disposition dw &cl»rs et à la manière d'opérec, les pioduita partiel) de la méthode at>régée eipriment tous des diiùnei de mille,
Il est bon d'apporter quelquefois nne petite modification à cette règle, en catculant deni ctiiffree de plus qu'il est eiigé : mais il n'f a pas lien d'exposer ici ee détail qui offre p«D d'importance. (Kot« VIII.)
EXERCICES
1 . Démontrez que le produit de deni nombres a autant de chiffrée qu'il ; eu a dans les deux factenrs, ou intant moins un.
2. Comment peut-on Ëiire le produit de deni nombres en employant, au lieu dn multiplicateur, le complément de ce nombre t
3. [témontrez qne le produit diminue quand on augmente le pins grand facteur et qu'on diminue en même temps le plus petit bcteur du ni<!ine nombre un.
i. Oo prend nn nombre composé d'autant de chiffres qu'on lent. Cela posé, on ajoute 3â ku décuple du premier chiffre i gaucbe, puis encorde deuxième chiffre li la somme ; on multiplie I* somme par 10 et l'on ajoute le troisièuie chiffre et ainsi de suite. En retranchant 2S, 2fi0... suiiant que le nombre a 2, 3... chiffres, on aura le nombre primitif,
5. Que délient un produit quand on augmente le premier bcteur de 6 nuitée et qu'on diminue le aerond de 101
6. Démontrez qne le produit de 1008 y 1009 = 1000 x 1017 -|- 72.
7. Démontrez qn'en mulli)iliant le nombre 12&4fi679 par les multiples de 9 jusqu'il 9 X 9, on a des produits dont chacun s tous ses chiffres égaux entre eni.
8. Démontrez qu'on peut malliplier un nombre psr une différence en multipliant ce nombre par chaque terme de la différence, et en faisant ensuite la différence des deux prodaits.
