CHAPITRE V

Division.

88. Quand le dividende est un multiple du diviseur, le quotient est un nombre entier et l'on dit que la division peut se faire exaclemenl ou plus brièvement que la division est exacte ; dans les autres cas le quotient est un nombre fractionnaire et le dividende peut être considéré comme étant égal au produit ■du diviseur par un nombre entier, qu'on appelle la parité entière du quotient, plus un nombre moindre que le diviseur qu'on appelle le reste de la division ; autrefois on disait le résidu.

Quand on divise un nombre quelconque par un nombre entier on dit qu'on rend le premier autant de fois plus petit qu'il y a d'unités dans le second.

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89. Il est important de se rappeler que, en vertu du principe fondamental dû la multiplication, )e dividende peut étreconsidéré coname le produit du diviseur par le quotient ou du quotient par le diviseur.

PRINCIPES FONDAMENTAUX

90. I. Si le dividende et le diviseur deviennent, en mêmetemps, 2, 3... fois plus grands ou plus petits, la partie entière du quotient ne change pas mais le reste devient aussi 2, 3... fois plus grand ou plus petit',

Bémanttration. — Soit e diviser 25 par 7. le qnolient est 3 et le reste 4 ; donc 23 = 7 X 3 -{- 4. MuUipUoiis la Bomme 25 par 2 ; alors chacune dei partiel aéra moUipliée par 2 ifiS) ; d'aillenrs pour mnltïplier le prodoit 7 X 3 paf 3, si l'on conserve le facteor 7 , U &udrs rendre l'autre Tacteur 3. deux foie plue grand (68 1 ; de sorte^ qu'on a 50 = U K 3 + 8 ; le quotient do 60 : 14 est encore 3, mais le reste est 8 ^= 2 X 4. Mêoie dëmonstratioD si l'on diTise les deui termes par la même nombre.

II. Pour diviser un produit par un de ses facteurs, il suffit de supprimer ce facteur.

III. Quand le diviseur est le produit de plusieurs facteurs, on peut diviser successivement le dividende par chacun des facteurs du diviseur (Note XI.)

Lea deux derniers principes rétnltent immédiatement dea principes fondamentsat de la maltiplicatioD, en ee rappelant que, d'après la d«Snitiim même de U ditiûon, le diiidende eat le produit du diiiseur par le quotient.

91. IV. Le quotient de la division d'un nombre entier par un nombre entier, c'est-à-dire le facteur par lequel il fautmultiplier le diviseur pour obtenir le dividende, est équivalent à la fraction ordinaire qui a le dividende pour numérateur et 1& diviseur pour dénominateur.

Dimoaiiralioa. — Démsutrans que le quotient 15 : 4 eat éqni raient i la fraction "; pour cela noua eoneidéreroaa d'abord le quotient 1 : 4 i c'est on nombre 4 fois plus petit que un. car en le multipliant par 4 le produit doit être un ; ce quotient est donc équifaUnt i la fraction J qui est le quart de un; ensuite le qnolient 15 ; 4 vaut 15 foie 1 : 4 et U fraction ^ v&ut lussi là fois la fraction j; donc 15 : 4 = ^.

C'est en se basant sur ce principe qu'on indique souvent la division par une expression fractionnaire; on écrit ^^ (on dit aussi 15 divisé par 4 ou d'une manière abrégée 15 sur 4) pour 15:4*.

1. Quand l'un des deai termes seulement défient 2.3. . fois pins grand on plus petit, la partie entière du quotient et le reste sont modifiés d'apris certaines r^lesusez compliquées. (Note X.)

2. Cette notation était déjï en ast^ chez les Grecs. (Hoefer, Mùtoirt àtt mathimatigati, p. 269.)

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92. Noas auppoions que les élères cannaîsBent U rtgU de la division qnacd Is diviseur n'ï qu'un seul ehiffra et que le dividende eit infôrienr i dii toia le diviseur ; alors le quotient n'a nusai qu'un seul chiffre et on peut te trourer fucilemci t.

93. Première règle. — Quand le diTiseur se compose d'un seul chiffre signiflcalif suivi d'un certain nombre de zéros et que le dividende n'atteint pas dix tbis le diviseur, on obtiendra la partie entière du quotient en divisant, par )e chiffre significatif du diviseur, les unités du même ordre qui sont contenues dans le dividende.

Déntomlration. — Soit s chercher le partie «atitre de 2523 : 300 ; on divise 23 pir 3 1 le partie entière du quotient 8 est aussi la partie entière demandée du quotient de 2S23 : 300 ; en effet. U produit des 3 centaines du diviseur par le chiffre du quotient «et un nombre exact de centaines : donc il se trouvera dtn> les 25 centaines da dividende, et en cherchant le plus grand nombre entier par lequel on peut muliiplier 3 sans dépasser, t'est-ii-dire le quotient entier de 25 : 3, on a aussi la partie entière du quotient de 2523 : 300.

3xa <23<3X9; «t il y a au moins une différence d'une uniti entre 25 ut 3 X. 9: mulliplions tous les termes par 100, il vient

310 X 8 < 2500 < 300 -' 9 ; il f a maintenant au moins une différence d'une centaine entre 2300 et 300 X ; donc aussi 300 X 8 < 2523 < 300 X 0.

Il est ain^i démontré que la partie entière du quetient de 23 : 3 est la mSme que «elle du quotient de 2523 : 300.

94. Deuxième règle. — Quand le diviseur a plus d'un seul chiffre et que le dividende n'atteint pas dix fois le diviseur, la partie entière du quotient n'a qu'un seul chiffre et l'on peut opérer de deux manières :

Première manière. — On fait une échelle de division des neuf premiers multiples du diviseur : le nombre par lequel on a multiplié le diviseur pour obtenir le plus grand mutiiple qui ne dépasse |jas le dividende est la partie entière du quotient.

Deuxième manière. — On divise par le premier chiffre â gauche du diviseur ' le nombre formé par la pariie du même