I. Si l'on sépare sur ta droite du dividende et du A

viseur le même nombre de chiffres,

de manière qu'il reste encore au moins deux chiffres

ur la gauche du diviseur, et ai l'on

diviaeles parties à gauche l'une par l'autre, on aurai

quotient a chercher ou ce quotient

plu» un. M. Cambier, inapeclfluc de l'enseignement

moyen, & iiublié ddns la Einuf de

i- J«ilrueli»» puiliqui. {time XVII, 187*. p. 383),

è la fin de cet ouvrage. (Sole XII.)

„Gooi^lc

ordre à la gauche du dividende : on multiplie le diviseur par le chiffre obtenu, etsileproduit peut être soustrait du dividende, ce chiffre est la partie entière du quotient cherché; sinon, on le diminue d'une, de deux... unités jusqu'à ce qu'on obtienne un produit qui puisse être soustrait du dividende et alors le dernier chilFre qu'on aura essayé sera le quolient cherché.

DimûnalralioH — Suit II chercher la partie ealière de 2523 : 34S.

Le diiidende 2523 se compose des produiti partiels de 3 centaines, i dizaines et S unités da dliiseur par le chilfiedu quotient, gilui le reste. Le premier de ces produit» partie!» est un certain nombre de centHinea, lesquelles eout néressairement coiupriite» dana lea 25 eentaiuea du djiidende ; donc si tes 25 centaines oe comprenaient que ce produit, en diiisaut 25 par 3 on aurait le chiffre eiact du quotient ; mais dans les ■In centaines dn dividende, il peut y avoir aussi des centaines provenant du produit dea 4 dizaines du diviseur par le (luotient, donc en divisant les 35 cent^nes du dividende parles 3 eentaines du diviseur, on aura le chilfre cherché ou quelquefois un chiffre trop' fort ' .

95. Troisième règle. - Quand le diviseur a un ou plusieurs chiffres et que le dividende dépasse dix fois le diviseur, la parlie entière du quotient aura plusieurs chiffres et l'on peut la calculer de la manière suivante :

1" Onpiacelediviseuràla droite du dividende* avec un trait entre les deux termes ; et l'on souligne le diviseur : c'est sous ce trait qu'on écrira le quotient ; 2" on sépare, sur la gauche du dividende, un nombre qui a autant de chiffres que le diviseur, ou un de plus quaûd le nombre séparé est moindre que le diviseur; c'est ce nombre séparé qu'on appelle le premier dividende partiel ; 3' on divise le premier dividende partiel par le diviseur en appliquant la première règle, et l'on obtient le premier chiffre à gauche de la partie entière du quotient ; 4° on multiplie le diviseur par ce premier chiffre ; on soustrait le produit du premier dividende partiel ; enfin, à côté du reste, on abaisse le premier chiffre à gauche de la partie du dividende qui n'a pas encore été employée ; on obtient ainsi le nombre qu'on appelle le deuxième dividende partiel ; 5' on divise le deuxième dividende partiel par le diviseur, et l'on obtient le deuxième chiffre du quolient qu'on place à la droite du premier; 6° on opère avec le

1. Dans quelquea cas pnrticuliei's on peut abréger ces tâtonnements : si le second chiffra du diviseur dépaaae 5, on augmente, de un, le premier chiffre avant de fiure la division ; et si le second chilfre du diviseur est nioindi'e que ô, an diminue, de un, la chiffre du même ordre au dividende.

2. Les Anglais placent le diviseur ti la gauche et le quotient à la droite dn dividende.

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deuxième chiffredu quolient comme on l'a fait avec le premier; et

ce jusqu'à ce qu'il n'y ait plus à abaisser de chiffres du dividende ; 7" après cela, s'il y a encore un reste, pour avoir le quotient complet c'est-à-dire le nombre par lequel il faut multiplier le diviseur pour obtenir le dividende, on ajoute au nombre trouvé une fraction qui a pour numérateur le reste et pour dénominateur le diviseur.

Quand un des dividendes partiels est plus petit que le diviseur, on écrit au quotient et l'on passe immédiatement au dividende partiel suivant. (Noie XIII.)

Oémoiiilratien. — Soit ti diiiser 86626 par 27. Il a'sgit de Irouïer Ifi nombre par leqnel il faut multiplier le âiiîseiir pour obtenir le divideude 86626 [ B7 86626 ; donc le dividende peut être coDsidéié comme la somme

S* I 3208 j| des produits partiels du diTiseur 27 par ehaenne dea collections 66 d'unités du quotient : et si l'on eoBoaissait séparément chacun de

6i ces produits partiels, l'opération serait ramenée > l'application

226 ^s '' deniîÈme règle.

2ie On peut déterminer le produit du diviseur par le chiffre des

— 77 unités de l'ordre le plus élevé du quotient, au moyen Jee deui

. prÎDcipea BuiTanla :

1° Le produit partiel du di'iscar par le chiffre des unités de l'ordre le plus élevé du quotient est contenu dans le premier dividende partiel.

2° Ca premier produit partie' est le plus grïnd multiple du diiisenr qui est contenu dans le premier dividende partiel.

Pour démontrer la premier principe, il suffit d'établir que le premier chiffre i gancbe du quotient est du même ordre que le premier chiffre ï droite du premier dlFidende partiel ; e'est ainsi que, dani l'eieraple proposé, le ptemier ehilTre à gauche du quotient sera de l'ordre des mille ; en effet, d'après la méthode qu'on a suivie pour déterminer la premier dividende partiel, on peat écrire :

et il y a au moins une unité de différence entre 86 et 10 v 27 : mnltiplions tons les termes par 1000, c'eat-k-dire par le chiffre un suivi d'autant de zéros qu'il y a de chiffi-es b la droite du premier dividende partiel ; il vient

il j aura maintenant au moins lOOO unités de différence entre 86000 et 10000 X 27 de sorte l'inégalité subsistera encore si l'on ajoute 626 (la portée fc droite du premier dividende partiel) à 86000 ; on a donc

Le quotient est compris entre 1000 et 10000, ses unités de l'ordre le plus élevé sont les mille, c'est'ï'dire les unités du même ordre que celui du premier chiffre i droite dn premier dividende partiel ; or, le produit du diviseur par les mille du quotient est composé de mille, donc ce pvoiuit sera tout entier compris dans le premier dividende

„Gooi^lc

«a bitant let mimes raiionaamenti qae ci-dMiui, noaa pourrana écrira

3000 X 27 < 86626 < 4000 X 27 ; ce qoi démontre que le quolient est comprii entre 3000 et 4000, et qna le chiffre dn mille du quotieat est 3.

Cela poaé, connsisaant le premier produit partiel 3 X 27 =^ 81, on le ntrsnchen du premier dividende parliel 86 qui le contient ; on a le rette 5626.

Ce reate est la somme dea produits paitiele du diriaeur par biutea lee parties du quotient qu'il fent encore calculer ; il «'agit donc de trouver le nombre par lequel il tant multiplier la diviseur 27, pour obtenir le reste 6626 ; il suffit pour cela, d'après la définition de la division, de diviser ce reste 6626 par le diviseur 27. Pour faire cett* nouvelle dïtifi on toutk fait indépendante de ta première, on peut répéter les raisonnemeota précédents; seulement comme le deuiième chiffre du quotient est de l'ordre immédiatement ïuferieur au premier chitTre, on obtiendra immédiatoment le deuiième dividende partiel en abaïssaut à c6té du reste B qui prolient du premier dividende parliel, le chiffra suivant 6 da dividende total.

Et ainsi de suite jn^qu'k ce qu'il n'y ait plua de cbiffree il abaisser; il peut se présenter alora diux cas. On bien, il reste zéro et le nombre obtenu est le nombre par lequel on doit multiplier le diviseur pour reproduire le dividende ; ou bien, il y a un resta diflËrent de zéro et dana tous les cas moindre que le diviseur ; atoia le produit du diviseur par le quotient reproduirait le dividende diminué du mte. C'est ee qui uriîva pour l'exemple proposé. Dans ce ras aussi le quotient par lequel il faudrait multiplier le diviseur pour obtenir le dividende est fractionnaire car il est compris entre le nombre entier trouvé et le nombre entier qui luit immédiatement.

La fraction qu'il faut ajouter à la partie entière du quotient déjil trouvée afxmr num/raleur It mit ti pour diaominaieur li divùiur ; en effut, dans l'exemple proposé la fraction du quotient doit être telle que multipliée par le diviseur 27 elle donne pour produit le reste 10; or la fraction qui multipliée par 27 donne 1 est évidemment fj et celle qui donnera 10 sera j^.

REMARQUES

96. I. Dans la pratique, quaud le diviseur n'a qu'un seul chiffre, on multiplie généralement le diviseur- par le chiffre du quotient en soustrayant simultanément les produits partiels du dividende'. De même quand le diviseur n'a qu'un seul chiffre, on peut abréger l'opération en n'écrivant pas les restes successif.

97. II. La méthode des compléments (62) fournit une nouvelle manière pour faire la ditision (J. M., t. II, p. 29à etCitELLR, t. XIIC, p 209); cette métbode repose anr le principe suivant ; Quand on ajoute a* dividtade U produit du qmlisat par It amplémint du ditiiiur, la lomme ttt égaU aa rttU précédé du quatimt.

;yGOO»^IC

BimMitratioit. — Le quotient de 3823 pn 583 étant G et le iwte 324, si l'on multiplie ce qaatient a par le complément 417 dn diiÎMiir SS3 et qu'on HjaaU le prodait 2G02 an diridanâe 3822, la aomm* est 6324, c'est-à-dire le rate 324 prtc*dé da quotient 8. En effet 3B22 = Û83 X 6 + 32* ; oc 583 X 6 = 1000 x 8 — 417 X 6 ; donc 3822 + 417 x 6 = 1000 X 6 + 324. Cela poeé, Toici la règle qu'on en déduit.

Four foire la division de deux nombrei entiers (par exemple 7934 587851 : £34897),

on dispose l'opéretion comme k l'ordinaire seulement on écrit itu dessus du dÎTisenr

te compléiiient â« oeluî-ci. On détermine 1* premier

I 465103 chilTre du quotient d'après la règle connue, nais

7934<S67e51 I 534897 ensuite on multiplie te chiffre par le complément

du diTÎBeur et l'on ajoute le produit au ptemier

ditidende partiel. On «êpare, par une apoetrophe,

le premier <MSn i la gauche de la somme ; ce aen

le premier chiffre du quofiont qui est déjà

obtenu et la partie li droite de l'apostrophe sera

le premier reete. A c6ti de ce reste on abaisse le

chiite snivaut du âiviâende ; c'est le deuiiéme

dividende partiel sur lequel on opère comme sur

le premier et ainsi de suite.

3'204534I ôt/t\K manière d'opérer offi'e le très grand

- avantage de supprimer les soDstraotioni , c'ast-

à-dicfl les opération» qui aonl ordinairement

3'440B50 la cause des erreurs ; il peut arriver aussi que

le complément est un nombre qui a moins de

chi&es que te diviseur et alors Us mnltiplicatiau* partielles deviennent plu

belles. (Note XIY.)

98. III. Quand les deui tenues ont beaucoup de ohiOree, on trouve plus rapidement la partie entière du quotient en opérant comme suit : on supprime i la droite du dividende autant de chiffna moins un qu'il j en a au diviieur ; on ^vise la partie qni est restée à la gauche du dividende par la diviseur au moyen de la méthode râdinaire ; quand il u'; a plus de chiffres k abàsser, ou coutinne l'opération en supprimant nu ebiffie ï la droite du diviseur (on le souligne), k chaque division partielle ; eeulemeut chaque fois qu'on supprime un chiSïe qui n'est pas inférieur à G, on augmeute de un, par la pensée, le chiffre immédiatement i gauche.

procédé k la division de 457804065439 par 78583.

liTHODI IBStofR.

Si la partie séparée qui reate au dividende est moindre que la diviieur, on anpprii anasi au diviseur autant de chiffres qu'il &ut pour que le dividende soit divisible p la partie qui reste du diviseur.

V G oo»^ le

Far eiempte, golt ta ilÎTiaion de

793065 «2 178 9S4SS \ 17 793066*32178 i*r9M3217 ; »prti b-oÎc

29609 I j 83102 rapprimé 6 cbi^va à U droite du diii-

980 deode on darnït diriier 79306S par

26 9643217 ; pour rendie possible la diTÎBion

8 on iDpprime 1«8 deui demiers cbiffros

il droits du diviseur et l'on commence

l'opiration pur la diiision de 793065 par S5432, (NoteXV.)

99, Quatrième règle. — Quand les deux termes sont terminés à droite par des zéros, on supprime dans cbaque terme autant de zéros qu'il y en a dans le terme qui en contient le moins, puis on effectue, comme à l'ordinaire, la division des nombres résultants.

Démomtratiiin. — La auppreuion des léro* rend en effst les deui termes on même nombn de fait pins petite et U partie entière da quotient conserve sa valeur (SO)- Le quotient complet lui-mime, c'est-à-dire le nombre par lequel il faut multiplier le diiiseur pour obtenir le dividende ne change pas non plus, car te resta de la div^ion et le diiiseor étant di'iséa par le mCme nombre, la fraction qui doit être pontée à ta partie enclore du quotient (95) conserve la même valeur comme on le démontrera pluf tard.

100. Remarque. — Si le diviseur seul a des zéros à sa droite, on les néglige et l'on sépare un nombre égal de chiffres sur la droite du dividende ; on divise la partie qui reste à la gauche du dividende par le diviseur dont on a supprimé les zéros ; enfin quand la division est achevée on écrit, à la droite du reste, les chiffres supprimés du dividende : le quotient obtenu et le reste ainsi formé sont le quotient et le reste de la division des nombres proposés.

DémBitâlratioii. — Soit s dîTiser 841972 par 3700 ; on divise 8119 par 37 ; le quotient entier est 227 et le reste 20; on en conclut que le quotient 841972 : 3700 ett aussi 227, mais que le reste est 2072.

En effet, P 37 X 227 < 8419 < 37 X 228 avec au moins une unité de dilTérence entre les deui derniers termes ; donc 3700 X 227 < 811972 < 3700 X 228 avec au moins 100 anités de différence entre les deoi derniers termes ; donc aussi 3700 X 237 < 811972 < 3700 x 228, et le quotient de 811972 ; 3700 est 227 comme celui de 8119 : 37.

2" 8419 = 37 X 227 + 20, d'où 811900 = 3700 X 227 +2000; et 841972 = 3700 X 227 + 2072, d'aUleura 2072 < 3700 puisque 20 < 37 ; donc enSn 2072 est le reste de 811972 : 3700.

EXERCICES

1. Démontrez que, dans toute division, le dîTidende est plus grand que le double

3. LBTe>t« dsU divisiannecliiiiij^ pu quind on ajoute au dirideude ou quand on en retianch« un wnldple dn dirûeur.

4. Uns diiiiion ayant été effMtuée, on la recommence en divisant le dividende par le qnatieat obtenu. Dam quel cai trouvera-t-oa pour qaotient et pour reats, dans cette -dcuiËme opération, le diviseur et le reile de la première division I

5. En Bjontant te dividende i chaque terme d'une division, la quotient devient inTariablement un et le reste devient U difftoenee des deux termes de la première

'dlTÎSioD.