et

etl + 0=l;l + 8 = 9el l'on ne compte pas cette somme ;

5 + 7— 12etl+2-=3:le reste est 3.

Divisibilité par 11.

156. Tout nombre entier est un multiple de 11 plus ou moins la différence entre la somme des ctiiffres des rangs impairs et celle des chiffres des rangs "pairs, suivant que la première somme est plus grande ou plus petite que la seconde ; il résulte de là qu'un nombreentier est divisible par 11, quand la différence entre la somme des chiffres des rangs impairs et celle des chiffres des rangs pairs est nulle ou forme un multiple de 11.

JWmonjira^jon.— 10 = U — 1, donc 10' = 10 . 11 — 10 = 10 . U — 11-|-1^ — ll-H; lO'^lO.Ù + lO — 10.11 + 11 — 1 = Û — 1 et ainsi de mite; de aorte qn'nne unité de rang împnîr eit un multiple de 1 1 plna 1 et qu'une uniU de rani{ psii e«t un multiple de 1 1 moins 1 ; d'oii l'on déduit aneii qns tonle collection d'unîtéa eetuu multiple de U pins on moini le chiffre de U collectiiD, su! Tant qae celle-ci est ile r«ng impair ou de rang pair.

Cela posé, tout nombre entier étant la tomme de ses collections d'unités peut Stre décomposé en trois parties : 1" un multiple de onze, 2° U somme des chiffres dea range impaire qui doit être contée. 3» la somme dei chiffres des range pain qni doit Être sonetraile ; donc, enicant que U première somme est plus grande ou plue petite qne la seconde, le nombre sera un multiple de 11 plue on moins la dîiférenoe de« deux iommee ; le caractère de diTisibilïl^ résulte immédiatement ile ce principe.

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REMARQUES

157. I. — Quand la différence entre la somme des chiffres des rangs impairs et celle des rangs pairs n'est pas nulle ou divisible par 11, il peut se présenter deux cas :

1" la somme des chiffres des rangs impairs est plus grande que celle des rangs pairs ; alors, quand on divise la différence par 11 on a le même reste qu'en divisant, par II, le nombre proposé (123].

2° la première somme est plus petite que la seconde; alors le nombre proposé est un multiple de 1 1 moins la dittérence des deux sommes, ou bien comme il est facile de le montrer : le nombre proposé plus la différence est un multiple de 11, de sorte que, si l'on divise successivement le nombre proposé puis la différence par II, les deux restes doivent taire ensemble II , ou bien encore le premier reste est le complément, sur U. du second.

158. II. — Il y a un autre caractère de divisibilité par 11 dont l'application est commode dans ta pratique ; il est basé sur ce principe : Si l'on décompose un nombre entier en tranches de deux chiffres en commençant par la droite, le nombre est un multiple de 11 plus la somme des tranches.

Ed effet l'unité eulrîe d'un nombre pair de zéros e<t UD mnltiple de It plus UD, donc aOBsi tout nombre «niier sniri d'un nombie pair d« zéro) «st un multiple de 11 plus le nombre.

159. De là résulte un moyen très facile pour trouver le reste de la division d'un nombre, le diviseur étant 11 ; on partage le nombre en tranches de deux chiffres en commençant par la droile; on retranche de chaque tranche le plus grand multiple de 11 qui y est contenu ; on fïiit la somme de tous les restes et Von opère sur cette somme comme sur le nombre proposé et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on obtienne un reste plus petit que 11.

Ex. : Soit le nombre 78'93'60'50'98'67 ; la tranche 78 donne pour reste I ; 93 donne 5 .... et la somme des restes est 1 + 5 + 5 + 0+10-1-1 — 28; et en retranchant de 28 le plus grand multiple de U qui y est contenu, on obtient pour résultat 6 : c'est le reste qu'on obtiendrait en divisant le nombre propiisé par 11.

160. On a démontré (14-2) que lorsqu'un nombre est divisible séparément par des nombres qui, deux à deux, sont premiers entre eux, il est divisible par leur produit; il résulte de là qu'un

V G OO»^ le

nombre est divisible par 6 — 2x3, quand il est divisible séparément par 2 et par 3 ; on trouve aussi, de cette manière, les caractères de divisibilité par 18 = 2 x 9, 22 »= 2 x 11, 15 = 3 X 5, 12 = 3 X 4.20 = 4 X 5, 24 = ;i X 8, 30 = 5x6. aC = 4 X 9, 40 = 5 X 8, 50 = 2 X 25, 60 = 4 X 3 X 5, etc.

161. Le caractère de divisibilité par 6 peut être démontré directement comme suit ; Soit un nombre N divisible séparément par 2 et par 3 ; puisque N est divisible par 3 on peut écrire N = 3 X î (î représentant le quotient N par 3) ; ce quotient est pair, car s'il était un nombre impair, le premier chiffre à droite serait 1, 3, 5, 7 ou 9 et le premier chiffre à droite du produit 3 X ç ou N serait 3, 9, 5, 1 ou 7 ; de sorte que N ne serait pas divisible par 2, ce qui est contraire à l'Iiypothèse. Le quotient q étant un nombre pair est un multiple de 2, et on pourra le représenter par 2 x j' (c'est un nombre entier) ; doncN--3x 2X2'-=6 x g', c'est un multiple de 6. (Note XXI.)

Application. — Preuves des opêfalions par 9 el par il.

(Appeadice III.)