III. — MULTIPLICATION

164. Principe fondamaital. — Considérons les deus restes qu'on obtient en divisant deux nombres par un diviseur quelconque, si l'on divise par le diviseur, d'abord le produit des deux restes puis le produit des deux premiers nombres, les deux divisions donneront le même reste.

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Démonilralioii. — Soient les deni nombres 76 et 40 : en diiiuiat 76 [lar le diiiuui 9 on a poDi reste 3, et en divisant 40 pai le même diviecar 9. od a pour reste de sorte que 75 — 94-3et40T:^9 + 4; cela posé, eonaidéronsie produit 75 X lO, si l'on diminae le bctenr Ta d'un multiple de 9 de maDÎiie ■ ne couseiTer que 3, le produit 75 X 40 sera dimioué d'un multiple de 9 ; de mêms en remplaçant 4ll par 4 Le produit sera encore diminué d'un multiple de 9 ; donc 76 X 40 ^ 3 X 4 + 9; de sorte que si l'on divise, par 9, le produit 3 X 4 des deni restes puis le produit 75 X 4t) d" ^Bui nombres, lei deux diiisioue donneront le même reete.

165. Conséquence. — Pour faire la preuve par 9 de la multiplication, on fait le produit des restes de la division par 9 des facteurs donnés, si le résultat est égal au reste de la division par 9 du produit obtenu ou n'en diffère que par un multiple de 9, on a une vérification du premier calcul.