COMMUNS MULTIPLES

177. Un commun multiple (c. m.) de deux ou de plusieurs nombres et un nombre qui est divisible par tous ces nombres ; le plus petit commun multiple {p. p. c. m.) est le plus petit nombre qui est divisible par tous les nombres.

rs emploient l'eipressioD dividendes co

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178. Première règle. — Pour déterminer le p. p. c. m. de deux nombres : 1° on calcule leur p. g. c. d, ; 2" on divise l'un des deux nombres proposés parce p. g. c. d.; 3° on multiplie le quotient par l'autre nombre proposé : le produit obtenu est le p. p. c. m.

IMmonilratùm. — Soient A et B deui nombre» doot le p. g, c d. est D ; soient Q et Q' lea quotients qu'on obtiont quand on diiiBe >iicceaBi cément i et B pu ï) ; ces quotienU sont premiers entre em (l32). OnaA=^DXQetB = DXQ';

(M par eieniple ; d'où M = Ax™ — DxQX ">i «D second lien M est un multiple de B ^ D Q', donc si l'on difîse M par D, ce qui donne Q X "<• 1b qnolient doitetie «ncore <li>iiib1e parQ' ; or Q' est premier arec Q, done Q' est nn divisenr ae m. d'oii m = Q- et M ^ D y Q X Q' et l'on Toit que le nombre M ser» le plu» petit possible pour le p. p. m. de Q' qui M Q* ; donc U — D X Q X Q'<

REMARQUES

179. I. — Quand le plus grand des deux nombres proposés est divisible par le plus petit, c'est le plus grand nombre qui est le p. p. c. m. des deux nombres.

180. II. — Le p. p. c. m. de deux nombres premiers entre eux est le produit de ces deux nombres,

181. Deuxième règle. — Pour trouver le p. p. c. m. de plus de deux nombres, ou cberche le p. p. c. m, de deux des nombres proposés, puis le p. p. c. m. du résultat et d'un troisième nombre, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait employé tous les nombres proposés : le dernier résultat obtenu est le p. p. c. m. cherché,

Sémoniti'alion. — Soient tes nombres A, B, C,D ... ; déaignons par M le p. p. o. m. de A et de B ; tout cm de A et de B ne peut être qn'nn multiple de il, el >em diiisible par M ; cela posé, le p. p. o. m. M' de A, B, C doit élre divisible p»r k et par B. donc par M et par C, de sorte qae M' sera U p. p. e. ni. de M et de C et ainsi de suite.

REMARQUES

182. I. — Dans la pratique, il est utile de ranger les nombres proposés dans l'ordre déci'oissant des grandeurs, et de commencer les opérations par les deux plus grands nombres.

183. II. — De même que lorsqu'il s'agit de deux nombres, si le plus grand nombre est divisible par tous les autres, c'est

plus grand nombre qui est le p. p. c. m. des nombres

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184. III. — Quand tous les nombres sont premiers deux à deux, le p. p. c. m. est le prodoit effectué de tous les nombres.

185. IV. — Dans la recherche du p. p. c. m. on peut négliger les nombres qui en divisent d'autres parmi les nombres proposés.

186. V. — Pour trouver le p. p. c. m. on peut aussi opérer comme suit : on décompose les nombres en leurs facteurs premiers et l'on fait le produit de tous les facteurs premiers différents en donnant à chacun d'eux le plus grand exposant qu'il a dans les nombres proposés.

Parex.;lep. p.c. m.de756 = 2=X3'X7, 120^2^X3X5, et 1404 = 2' X 3' X 13 est 2' X 3^ X 5 X 7 X 13 = 98280.

EXERCICES

1. Démontrvz que tout mul^iile cammnn d« plasieurs nombrea eat ud maltiple

2. Four qu'an multiple commun tait le plaa petit, il but et il suffit qa'en le divisant succeaiiiement par dmcuo des nombrea propoiée, oa obtieune des quotienU premiers entre eu.

3. Le p. p. c, m. de N nombre eet égal & leur produit divisé parle p. g. c. d. des produilE n — 1 ï n — 1 de ces nombres,

4. Le p. p. t. m. de plusieurs nombres eet égal à un mulUple commun quelconque divisé par le p. g. c. d. des quotients obtenus en diiiGant ce multiple comman par cbacan des nombres.

5. Le produit de n nombres eet égal an p. p. c, m. des produits obtenus en com. binant cea uombns i i i, multiplié par le p. g. c. d. dee pioduite obtenue en les combinant h — i à n — t. (Pour cee cinq premiers eiercîces voir U, 1S83, p. 217.)

6. Tronrez d«ai nombres sachant que leur p. g. c. d. est 20 et leur p. p. c. m, 420.

7. Si un nombre N est diiiaible séparément par a, i, c et siles quotients n'ont pas de diiiaenr commun, N est le p. p. c. m. àta, b, c.

S. Trouves le plus petit nombre qui, divisé par S, 9, 12, 14 et 16, donne toujours un pour reste.

9. Combien j a-t-il de nombres plue petits que N et premiers avec N 1

10. Démontres que, si l'on diiise la somme de deni nombres et leur p. p. c. m. par lenr p. g. c. d., les quotients obtenne sont premiers entre eut '.

. Concours général de la 3« s

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