CHAPITRE I

Transformations fondamentales.

§ I. — PRINCIPES FONDAMENTAUX

190. I. — Quand plusieurs fractions ont le même dénominateur, celle-là est la plus grande qui a le plus grand numérateur ; au contraire, quand plusieurs fractions ont le même numérateur, celle-là est la plus grande qui a le plus petit dénominateur.

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191. n. — Quand deux fractions ont le même dénominateur et que le numérateur de l'une est 2, 3... fois plus grand que le numérateur de l'autre, la première fraction est 2, 3... fois plus grande que ta seconde ; au contraire, si le dénominateur de la première fraction est 2, 3... fois plus grand que le dénominateur de la seconde, la première est 2, 3... fois plus petite que la seconde.

19?. m. — Deux fractions sont équivalentes quand les deux termes dé l'une sont des équi-muliiples des deux termes de l'autre.

Il résulte de ce troisième principe que des fractions telles que M ®t Ittî sont équivalentes car les deux termes de la seconde sont formés en multipliant les deux termes de la première par le même nombre 101.

193. IV. — Si une fraction, dont les deux termes sont premiers entre eux, est équivalente à une autre fraction, les deux termes de celle-ci doivent être des équi-multiples des deux termes de celle-là.

DémonilratioH. — Soit la fraction ~ dont I«b âtax termes sont premiers entre eui,

et qui est équivalente k une fraction quelconque -^; alors TT— 3 eet auGii une fraction

équivalente ï ■■■ ; d'où le numérateur a Xi* = <X4,et comme a dÎTiw "Xd," doit diviser aussi le produit e X ^ ; or, par hypothèse, a est premier svec à, doue a divise c (140) ;

e de la fractibn - étant un certain multiple du numérateur a, il but donc que le dénominateur d soit le mime multiple du dénaminatenc 6, car sinon les deai fractions ne seraient pas équivalentes'.

194. REMARQUE. — Une fraction proprement dite augmente ou diminue de valeur quand on augmente ou qu'on diminue les deux termes d'un même nombre ; c'est le contraire qui arrive pour une expression fractionnaire.

Soit la fraction ^ ; augmentaus, de 4, les deui termes et nous obtenons la fraction proprement dite j| ; b la première fraction il manque -|~ = ^ pour taire l'unité et Il la seconde il manque i^~ ^ ^ : or la ftactian complémentaire j^ a le même

1. Nous n'hésitons pis à employer la notation des lettres pour les démonstrations, chaqne fois qu'elle eimpliSe considérablement le raisonnement ; dans les classes Bupérieuree, il but que les élèves s'habituent à cette métbode.

„Gooi^lc

numéreleuc que 1& fraction complémenluM n (69) et le dénominateur 15 >U; donc i < i^ et la fraction jJ est pliia prii de l'onilé que la fnielioft ^. DémonatraBoo analogne quand il e'agit d'une eipresiion fractionnaira,

,^ II. — TRANSFORMATION DES NOMBRES ENTIERS ET DES EXPRESSIONS FRACTIONNAIRES,

195. I. Pour transformer un nombre entier en une fraction ayant un dénominateur donné, on prend, pour numérateur de la fraction demandée, le produit du nombre entier par le dénominateur donné.

196. n. Pour transformer un nombre fractionnaire en une expression fractionnaire : 1" on multiplie le nombre entier par le dénominateur ; "l" on ajoute le numérateur au produit obtenu ; c'est le numérateur de l'expression fractionnaire sous lequel on écrit le dénominateur de la fraction.

197. ni. Réciproquement, pour transformer une expression fractionnaire en un nombre fractionnaire, on divise le numérateur par le dénominateur : le nombre fractionnaire est égal au quotient entier, plus une fraction proprement dite dont le numérateur est le reste de la division et dont le dénominateur est celui de l'expression fractionnaire elle-même.

On démontnra facilement cei tranaformatione.

198. REMARQUE. — Il est quelquefois utile, dans la pratique, de convertir une fraction ordinaire en une autre de dénominateur quelconque donné ; par exemple, ^ en la fraction qui a pour dénominateur 5; on multiplie le numérateur par 5; on obtient ainsi une fraction 5 fois plus grande ; on extrait les entiers; on trouve ainsi que 21 < ^^ < 22; donc^ < ^■ <^; et ^ ou X sont des valeurs de^à un cinquième près, l'une par défaut et l'autre par excès.