CHAPITRE III

Multiplication et élévation aux puissances.

215. Première régie. — Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on conserve le numérateur et l'on divise )e dénominateur par le nombre entier ; mais, quand la division ne peut pas s'effectuer exactement, on multiplie le numérateur par le nombre entier, et l'on conserve le dénominateur.

Démontlratioii. — 2Xj='î^'ï.t"' multiplier | par 2 c'est prendre 2 fois la fraction l (4))< donc le produit doit £tre 2 fois plus grand qae l , on aura donc le produit en divisant, par 2, le dénominateur (191) ; de mime 2X>=t = ^>'

REMARQUES

216. 1. — Le produit d'une fraction par le dénominateur est un nombre entier égal au numérateur; et le produit d'une fraction par un multiple du dénominateur est un nombre entier qui est le même multiple du numérateur.

217. II. — En appliquant la règle ainsi que celles qui suivront, on ne négligera pas de supprimer les facteurs communs aux deux termes.

218. Deuxième règle, — Pour multiplier un nombre fractionnaire par un nombre entier, on opère successivement sur la fraction, puis sur la partie entière du nombre fractionnaire, et l'on additionne les deux produits,

219. Troisième règle. — Pour multiplier un nombre entier par une fraction ou par un nombre fractionnaire, on opère comme s'il fallait multiplier la fraction ou le nombre fractionnaire par le nombre entier.

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Dhnenitratioii. — jX2 ■=1=11; en cffut. multiplier 2 pat J c'est prendre lee 7 haititmes ds 3, c'eat-à-dire 7 fois U 8°" de 2 ; le i'"' de 2 ^ J et 7 fois le %"' = i^ = 2XÏ.

De mime 3|x7 = ''X3î=23|;U&ut prendre lea ! de 7 pais ajonter 3 fais 7, on. ce qui relient na mSine, moltiplisi 7 par | , paie ajontec le produit de 7 par 3.

220- Quatrième règle. — Pour multiplier une fraction par une fraction, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs, ou, comme on le dit ordinairement, on multiplie les deux fractions terme à terme : le premier produit est le numérateur et le deuxième produit est le dénominateur du produit demandé.

REMARQUES

221. 1. — Avant d'effectuer les multiplications, on aura soin de supprimer les diviseurs communs aux deux termes; si l'un des facteurs est un nombre fractionnaire, on le convertira d'abord en une expression fractionnaire équivalente.

222. II, — Pour prendre une fraction d'un nombre donné on doit, d'après la définition même de la multiplication, multiplier le nombre donné par la fraction. Pour prendre la moitié, le tiers .... d'un nombre, on peut diviser le nombre par 2, 3 .... ou bien le multiplier par 5, ^ ....

223. III. — Des règles précédentes on conclut que la valeur d'un produit ne change pas quand on intervertit l'ordre des facteurs ; ce même principe a été déjà démontré pour les facteurs entiers (77).

224. IV. — Quand un des facteurs est un nombre entier, on peut le remplacer par une fraction qui a le nombre entier pour numérateur et le nombre un pour dénominateur ; qiland c'est un nombre fractionnaire on peut le remplacer par une expression fractionnaire équivalente ; de sorte que le calcul peut toujours être ramené à la multiplication de deux fractions ordinaires.

225. V. Méthode par les parties aliquotes. — Des unités d'un certain ordre qui sont exactement contenues dans l'unité immédiatement supérieure, s'appellent des parties aliquotes de cette unité. La méthode de la multiplication par les parties aliquotes est celle qui s'appuie sur la décomposition

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des fractions en parties aliquotes de Tunité supérieure ; voici quelques exemples de l'emploi de cette méthode très féconde

pour abréger les calculs.

1" I >t 10; on décompose g en | ou 5 + | ou 5 ; d'où 5x10 — ix lO+^x 10 = 5 + 3i-8i;

2" I X 14 ; on décompose ^ en | ou î + | ou 3 + î ; d'où JX 14 = i X 14 -(-ix 14 + ^ X 14 = 7 + 3i + H=12i;

3''10|xl8^^; on décompose 10^ en 10+| + J;d*où 10 fx 18^^— 10 x 1855|r +5 X 1855 j'. + -i X 1855^ — 18550 ^ + 927 }| + 463 f^ = 19942 ^.

226. Cinquième régie. — Pour multiplier entre eux plus de deux facteurs, on multiplie entre eux les deux premiers facteurs, puis le produit par le troisième facteuff etc.

227. Remarque, — On peut généraliser le principe fondamental de l'interversion des facteurs et en déduire toutes les conséquences trouvées pour les nombres entiers (771.

228. Sixième règle. — Pour élever une fraction à une puissance donnée, on élève successivement les deux termes à cette puissance : la puissance du numérateur sera le numérateur du résultat demandé et la puissance du dénominateur en sera le dénominateur. Si c'est un nombre fractionnaire qu'il faut élever à une puissance donnée, on transforme d'abord le nombre fractionnaire en une expression fractionnaire équivalente.

229. Remarque. — Une puissance d'une fraction proprement dite et irréductible est aussi une fraction proprement dite et irréductible (Hl, 3") ; la puissance devient de plus en plus petite à mesure qu'on élève à une puissance d'un degré plus

1. On ysnt mnltiplïer par 20 U fraction J; on ajoute d'abord 4 su namérateur, quelle opération doit-on faire sur le déaominatenrî

2. Ftu' quel nimbre làut-il mulliplier le nombre 23 ponr le diminuer de set ^ 1

3. Les si([uiIIeB d'une montre marquent midi, k quelle heure ae reucontreront-ellea denoDTeanl

4. Un tonnean contient 340 litres de bière ; on en soutire 65 litres qu'on remplace par de l'eau ; ou en soutire de nouTean Sa litres qu'on remplace encore par de l'eau, -et l'on &it enfin cette opération une iroisiËme fou. Combien le tonneau contient-il alors de bière t

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