I. — CONVERSION DES FRACTIONS ORDINAIRES EN DECIMALES
269. Définition. — Convertir une fraction ordinaire en décimale, c'est calculer une fraction décimale qui soit équivalente à la fraction ordinaire, ou qui n'en diffère que d'une unité décimale donnée.
270. Règle. — Pour convertir une fraction ordinaire en décimale, on divise le numérateur par le dénominateur d'après la règle du n" 262.
Ikmenilralioa. — '-^ = 1,7126 ; en effet ^^ = 137 : 80 (90) = 1.7126, En divisant 137 pai 80 on obtient le quotient entier 1 et le reste 57 entiers ou 670 dixiËinee ; eu divisant Ô70 disièmes par SO, on obtient le quotient 7 diiièmes avec le reste 10 dixièmes ou 100 centièmes; 100 centièmes : 80 = 1 centième pour qnotient et 20 centièmes ou 200 millièmes pour reste. (Note XXVII).
REMARQUES
271. I. — Voici une application de cette règle : dans la pratique, quand on doit extraire la racine carrée d'une fraction ordinaire, on convertit d'abord celle-ci en une fraction décimale.
Par eiemp l" : soit il ex traire à moiu» d'un millième, la racine carrée de y ; on écrira l/f = \/'0,71i-iS6... = 0,845...
272. II. — Qjand la conversion donne un nombre décimal avec un nombre limité de chiffres décimaux, on dit qu'elle donne un nombre décimal exact et alors la fraction ordinaire est équivalente à cette fraction décimale. La condition nécessaire et sitQlsante pour qu'il y ait un nombre décimal exact, c'est que le dénominateur de la fraction ordinaire réduite à sa plus simple expression ne contienne pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5.
Dimvistratiaa. — Cette condition est néimairt ; en effet, soit ta fraction irréductible -^ dont le dénominateui est diiieible par te facteur 3 différent de 2 et 6 ; quelle que soit la fraction éi|ni'a1ent«, le dénominateur sera un multiple de 60 (174) «t ce multiple
„Gooi^lc
ne peut ttn équivalent b une puisiance de 10 qai ne renrerme que le facteur 2 et S, dont il n'f 1 pu de aombre décioul eiact qui puisse être équivalent a la fraction ordinaire j^.
La condition est tujiêimlt ; en e&èt, soil la fraction irréductible îfj dont le dânomi n-, ^ =. '" '*' 127 XS ' 1687fi ^tcur « décompo» en 2> X 6'; on a — = ^^^^ = -—^^ — ;
c'est un nombre décimal ayant S i^biSrei décimaui . c'eit-k-dire autant de chiffrée ilécimaui qu'il ;■ a d'unité) daue le plus grand oipoual dei facteare 2 et 6.
273, in. — Quand la conversion ne donne pas un nombre <lécimal exact, on obtient un nombre décimal qui se compose d'un nombre infini de cliiffres décimaux dont un ou plusieurs consécutifs se reproduisent indéfiniment et dans le même ordre ; un tel nombre s'appelle une fraction décimale périodique ; te nombre formé par les chiffres qui se reproduisent est la période. Une fraction décimale périodique est simple ou mixte suivant que la période commence ou non au chiffre des dixièmes. La fraction ordinaire qui donne naissance à une fraction décimale périodique s'appelle sa génératrice.
274. On démontre facilement que toute fraction ordinaire, non convertible en une fraction décimale exacte, conduit à une fraction périodique ; en effet, soit par exemple à convertir ' ; on doit diviser par 7 successivement 40, 50, 10.-.. C'est-à-dire chaque reste suivi d'un zéro ; or les restes sont tous plus petits que 7 et différents de zéro ; on ne peut donc pas obtenir plus (le 6 restes différents, de sorte qu'après 6 opérations tout au plus, il vient nécessairement un reste déjà obtenu précédemment ; à côté de ce reste on met encore un zéro, ce qui forme un dividende précédent, puis le même quotient et le même reste, etc.
§ ii. — formation de la fraction génératrice d'un nombre décimal.
275. Première règle. — Un nombre décimal exact est équivalent à une fraction ordinaire qui a pour numérateur le nombre décimal sans virgule; et pour dénominateur une puissance (le 10 dont l'exposant est égal au nombre des chifli-es décimaux.
Eanpla. — l" 0,617 = j^ ; 2° 79,34 = ^ on 79 ^ = 79 ■^.
276. Deuxième règle. — Une fraction périodique simple a pour génératrice une fraction ordinaire dont le numérateur est une fois la période et dont le dénominateur est un nombre
V G OO»^ le
qui se compose d'autant de fois le chiffre 9, qu'il y a de cliilïres dans la période.
Sémoniiriitioit. — Sait la fnictiaa djcimalv périodique simple 0,9757 dont la.
période eit 67 : on s d'abord 57 = 100 X 0,57 =
En additionnant membre i membre et réduisant
Il ..mm... +•■»««•".
Il est ainsi démontré que ^ Mt la fraction génératrice de 0,57o7ô7... ; eu même' temps on Toit que la dilTérenee entre la fraction génératries et la fraction décimale périodique est d'uutant plus pstite qu'on prend un plus grand nombre de périodes ' .
REMARQUES
277. 1. — I5 - Wi'Al ^ tlU '• on- démontrerait d'une manière analogue que ^ ^ f||{ = l^l^ ; on voit aiosi qu'on peut supposer que la période se compose de plusieurs fois la période primitive, etlafraetiongénératrice aura toujours lamème valeur.
278. II. — Si fraction périodiqueaune partie entière on obtient la fraction génératrice en prenant pour numérateur un nombre composé de la partie entière suivie d'une période moins la partie entière, et pour dénominateur un nombre composé d'autant de & qu'il y a de chiffres dans la période.
DémoiatratioB. — Soit la fraction périodique simple atec une partie entUl« 167,036036... = 167 + 0,030036 ... ; la fraction génératrice sera évidemment
cette formole démontre Iti re,;le.
u numérateur, on a
1. L'élndedes fractions périodiques est assez difficile pour lea commençant! ; elle exige la connaissance dea limiltt dit grendtars l'ariablei qui doit <ltre réser<«e pour les claaaes supérienrea. (Note XXVIII.)
V G 00»^ le
279. III. Le dénominaleur de la fraction généralrice d'une fraction périodique simple est premier aifec 10, car avant la réduction il est terminé par un 9 ; et la réduction à la plus simple expression n'introduit pas les diviseurs de 10.
280. Troisième régie. — Une fraction périodique mixte a pour fraction génératrice une fraction ordinaire, dont le numérateur est un nombre composé de la partie non périodique suivie d'une période moins la partie non périodique, et dont le dénominaleur est un nombre composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie non périodique.
DimoDêiratioa. — Soit la fraction périodique iniit« 9, 234574ST ... : considérons Infraction 923,457447 ... qnî nt 100 foia plm grande Que Is fraction proposée; Il fraction EéncratricB est (278)' -;--r ; donc la génératrice de la fraction
„.„„-„, , ,„„ , , ,. . .. 923457—923 922534 461267 9,23*37457 «aie 100" de ea résultat ou bien r— r — — — — — — -.
,o, r r. ■ 92^'457 — 923 923457000 — 923000 281. r. - on a aussi ^^^ ^^gCÏKHK)
*=■ ; ce qui demontpequ on peut comprendre
une ou plusieurs périodes dans la partie non périodique. Ensuite si l'on additionne terme à terme les deux premières fractions, ce qui donne une fraction équivalente, car les deux termes sont encore des équimuUiples des termes de la fraction . -, ,.,, , . , . 923457000 - 923000 + 92;i457 — 923 irréductible équivalente
on voit ainsi qu'au lieu de la période 457 on peat prendre la période 457457 composée de deux fois la première.
282. II, — Quand la génératrice d'une fraction périodique mixte a été réduite à sa plus simple expression : 1" son dénominateur renferme toujours l'un des facteurs de 10 avec d'autres facteurs premiers ; 2° le plus grand exposant de ces facteurs de 10 est précisément égal au nombre des chiffres de ia partie non périodique.
V G oo»^ le
Simonilralien. — 1° £d effet, avant U réduction, la naniéralear d« la générathcB n'ett Jamaii ttrmwi par un céro, fxt sinon lit période commencerait pins Ut ; ai le nnjDérateur est terminé pei S, il n'est pss divisible par 2 et, en timpliSant la génératrice, le dénominateur conservera le facteur 2 ; ei le numéialear est termiDé par un dea chiffreapiira2, 4,fl.8,il est di'iaible par 2, mais il ne l'est pus par S M, en simplifiant la génénitriee. le dénominateur conservera le fadeur 5 ; enfin, ai le numérateur est terminé par les chiffres impurs 1. 3, 7, 3, il n'est divisible ni par 2, ni par ô, et le dénominaleor conaerrera les dcui fadeurs. 2° Après toute simpliScation, la fraction génératrice coneerie le même nombre des facteurs 2 ou 5 ; or, il y a lutant de fscteun 2 et 5 qu'il j avait de zéros avant la simplification, c'est-à-dire autant qu'il y a de chiffrée non périodiques, donc ...
283. ni. Il résulte de ce qui précède que si l'on convertit ime fraction ordinaire irréductible en fraction décimale, on obtiendra :
1" Une fraction décimale d'un nombre limité de chiffres décimaux, si le dénominateur de la fraction ordinaire n'a pas d'autres diviseurs que ceux de 10 ; et le plus grand exposant de ces facteurs du dénominateur indiquera le nombre des chiffres décimaux ;
- 2° Une fraction périodique simple si le dénominateur est premier avec 10 ;
3° Une fraction périodique mixte si le dénominateur n'est pas premier avec 10 et s'il renferme encore d'autres facteurs ; dans ce cas le nombi^ des chilfres de la partie non périodique est égal au plus grand exposant des facteurs 2 et 5 du dénominateur.
§ m. — CALCUL DES FRACTIONS PÉRIODIQUES.
284. Od a vn que les opécations sur les nombres déoimani s'oiécalent identiquement de la mime manière que celles relatives aui nombres entiers, tandis que te calcnl des fractions ordinaires est beaucoup moins simple. Aussi, dans la pratique, sem-t-il bon de n'avoir k opérer que snrdea nombres décimaui ; c'eat ponr ce motif que, a'il se présente des fractions ordinaires, on les éialne en décimales, soit eiactement. soit approiimativement ; et l'on opère ensuite sur ces nombres décimaui, en tenant compte de rapproiimation avec laquelle on les a déterminés. Cette question rentre dans la théorie des appnximaiioii! nnmériqun dont nous n'avons pas ï nous occuper d'nne manière générale dans ce cours. Xous donnons seulement ici quelques procédés pour le calcul des fractions périodiques sans recourir aui génératrices.
285. 1" Considérons deux fractions périodiques simples, moindres que l'unité, dont les périodes ont le même nombre de chiffres et telles qu'en additionnant une période de l'une jles fractions avec une période de l'autre fraction la somme soit inférieure à 10 unités de l'ordre le plus élevé.
V G OO»^ le
Exemple. ■
et ^ L8 35 3535 ■
on peut obtenir ces résultats en effectuant les mêmes opérations sur les périodes.
286. 2° Les périodes ont le même nombre de ctUtIres, mais la somme de deux périodes n'est pas inférieure à 10 unités de l'ordre le plus élevé.
Exemple.
243, 875 1118 ^" '^ ÔiS "*■ 99!) ^ "i
on peut obtenir ce résultat en additionnant les périodes puis en augmentant le dernier chiffre à droite de un.
287. 3" Soient deux périodiques simples plus grandes que l'unité ; les périodes ont encore le même nombre de chiffres.
Exemple. - ^ = 20,222 ... et ^ = 4,111 ...
on peut obtenir ces résultais en effectuant les mêmes opérations sur les parties entières et sur les périodes. Soient encore les fraclions :
^ ^ 53,1818 ...; et 5|?- 27,8383...
yy ^ .99 y9 99
-«r --W ~ -ST - —99 ^''■="'" -
on peut obtenir ces résultats on opérant sur les fractions décimales seulement : pour l'addilion on augmente le dernier
qit.7erib.G00»^IC
cliiSVe à droite de un, et pour la soustraction on diminue ce chiifre àa un.
288. 4" Si les fractions périodiques simples ont des périodes composées d'un nombre différent de chiffres, on cherchera le moindre multiple des nombres de chiffres dont se compose chaque période ; ce moindre multiple indiquera combien de chiffres on prendra dans chaque périodique pour former une période.
Exemple. — Soient les fractions :
2 fi ^4'î
