CHAPITRE V

Problèmes divers'.

403. Problème I. — Deux troupes d'ouvriers ont reçu, l'une 245 fr. et l'autre 192,50 fr. ; chaque ouvrier a le même salaire par jour. On demande de combien d'ouvriers se compose chaque troupe et le salaire de chaque ouvrier, s'il y a 15 ouvriers de plus dans une troupe que dans l'autre.

Solution. — La différence 245 — 192,50 = 52,50 fp. est le salaire de 15 ouvriers ; donc un ouvrier gagne 52,50 fr. : 15 ^ 3,50 fr. par jour.

Il y a 245 : 3,50 = 70 ouvriers dans la première troupe, et 70 — 15 =■ 55 ouvriers dans la seconde.

1. Le professeur, après l'étude de chaque problème, fera résoudre des problèmes du même type avec des nombres difKrents, pour s'assurer que la solution a été bien comprise.

V G oo»^ le

404. Problème II. — Combien faut-il de livres sierling pour i;400 ikalers? Sachant que 10 livres sterling valent 252,10 fr. ; que 25,90 fr. représentent 5 dollars; et que 10 dollars font 14 thalers'.

Solution. — Désignons par a. b, c et d les valeurs intrinsèques, pour une même unité, de ces diverses monnaies, dans l'ordre où eiles sont énoncées; et soit x le nombre demandé ; nous aurons :

10 X a = 252,10& ■ d'où, en multipliant toutes ces éga- 25,90 X b — 5 X c lités, membre à membre, et omettant

10 X c — 14 X rf les facteurs communs a, ô, c et d ;

2400 X d'-= X X a il vient

10 X 25,90 X 10 X 2400 = 252, 10 x 5 X 14 X œ et, par suite,

£C— — :y ■■- — ;r— r- — =3531iv.st. llsch. (Ia1iv.vaut20sch.).

405. Problème III. — Quelqu'un a acheté, pour 172 fr., 23 m. de deux espèces d'étoffe ; l'une à 8 fr. et l'autre à 6 fr. le mètre. Combien de métrés de chaque espèce a-t-H achetés?^

Solution. — S'il avait acheté 2^ m. à 8 fr., il aurait payé 2:iX8fr.--184fr ;maisiln'apayéquel72fr..oul84— 172=12fr. de moins ; or, chaque fois qu'il remplace un mètre à 8 fr. par un mètre à 6 fr,, il y a une diminution de 2 fr. ; donc il a acheté autant de m. à 6 fr. qu'il y a de fois 2 fr. en 12 fr. ; ce qui fait 6 m. à 6 fr. et 23 ~ 6 = 17 m. à 8 fr.

406. Problème IV. — La différence de deux nombres est 11 .4 et le pltis petit est contenu 18 fois dans le plus grand. Quels sont les deux nombres ?

Solution. — Le plus grand nombre valant 18 fois le plus petit, la différence vaut 17 fois le plus petit ; par conséquent.

1. Autrefois ou avait une règle spéciale pour détermiaer le rapport des mounaies de deux pays, coït naissant le rapport de ces moDDsies avec celles d'nutres pays ; c'était la règle co.yumte / cette règle est hors d'usage et ne figure plus aux. programmes u&ioiele.

2. La métlioJe employée était conuue d'abord sous le tioin de fav*K porUUin et eusutte, par abréviation de» hypothètft; elle a pour base une hypothèse fausse, mais qui ounduit à !a solution par l'étude de l'écart que cette iiypotLèse a produit. Elle tuppose que les variation; des erreurs sont proportionnelles aux variations îles valeurs attribuées au nombre inconnu. Voir le Dictionnaire de Montferrier à l'art de Fausse lOiition «Règle de).

V G oo»^ le

le plus petit est 71,4 : 17 = 4,2 ; le plus grand est 4,2 + 71,4 -= 75,6 ou bien 18 X 4,2 = 75,6, nombre égal.

407. Problème V. — Deux nombres valent ensemble 'S ? ; le plus petit vaut deux fois leur différence. Calculez les deux nombres.

Solution. — Le plus prand nombre se compose du plus petit et de la différence, donc de 3 foi^ï la différence ; les deux nombres valent ensemble 5 fois la différence ou 3 ^ ; la différence

Le plus petit nombre -=2x^ = ^ = 11.

Le plus grand " =-3x^ = 1=25 ou 3j — \\ = 2\.

408. Prorlèmb VI — Quel est le plus petit de deux nombres, sachant que le plus tjrand est 8 et que la somme des deux nombres augmentée de leur proiuit fait 53 î

Solution. — La somme se compose du plus petit nombre et de 8 ; le produit vaut 8 fois le plus petit ; donc en additionnant la somme avec le produit, on a 9 fois le plus petit nombre + 8 ; celte somme est égale à 53. donc 9 fois le plus petit font 53 — 8 = 45, et le plus petit est 45 : 9 = 5.

409. Problème Vtl. — La différence de deux nombres est fi; & fois le plus grand el 4 fois le plus petit font ensemble 60. Quels sont les deux nombres ?

Solution. — 8 fois le plus grand font 8 fois le plus petit + S fois 6 ou 48 ; donc 8 fois le plus grand plus 4 fois le plus petit font ensemble 12 fois le plus petit plus 48, et en ne prenant que 12 fois le plus petit on a GO ^ 48 — 12; de sorte que le plus petit est t et le plus grand est L + G = 7.

410. Problème VIII. — Partager 60 en deux nombres tels que la septième partie du premier soit égal à la huitième partie du second.

Solution. — La septième partie du premier valant la huitième partie du second, les sept septièmes ou le premier en entier font les sept huitièmes du second ; de sorte que les deux nombres ensemble font les ^ du second.

Ces -^ du second valent 60, 5 vaut 4 et les l valent 32 ; c'est le second nombre demandé ; le premier est 60 — 32 = 28.

Autre solution. — Dans ce problème, il y a deux conditions : 1" le septième du premier nombre doit être égal au huitième du second ; 2" les deux nombres doivent donner 60 pour somme totale.

V G 00»^ le

Pour satisfaire à la l'* condilion, il suffit de prendre 7 pour le premier nombre et 8 pour le second ; mais alors la somme des deux nombres n'est que 15, tandis qu'elle doit être 60 pour satisfaire à la deuxième condition ; on rectifie l'erreur en prenant chacun des nombres supposés autant de fois qu'il y a de fois 15 en 60, c'est-à-dire 4 fois, car alors la somme est aussi multipliée par 4 ; on trouve ainsi que les nombres demandés sont 4 X 7 = 28 et 4 X 8 = 32.

411. Problème IX. — Detu; personnes se partagent une somme de ?04 fr. de manière que le cinquième de la pari du premier surpasse de 7 fr. le huitième de la part du second. Quelle est la part de chaque personne ?

Solution. — yde la part de la 1" vaut i de la part de la 2"% plus 7 fr. ; les | de la part de la V" valent î de la part de la 2"% plus 35 fr. ; ensemble les deux parts font f -|- | ou ^ de la part de la S"*, plus 35 fr. et cette somme s'élève à 204 fr. Donc les ^ de la part de la 2"^ valent 204 — 35 ou 169 fr. ; le i " - vaut 169 : 13 ou 13 fr. ;

les I valent 8x13 fr. ou 104 fr.

La 2"» a pris 104 fr. et la 1" 204 — 104 = 100 fr.

412. Problème X. — Deux personnes ont un égal revenu, la première épargne chaque année le 7* de son revenu, mais l'autre qui dépense 2000 fr. de plus par an que la première a fait 5000 fr. de dettes au bout de 10 ans. Quel est le revenu de ces deux personnes ?

Solution. — La 2^ personne a dépassé son revenu annuel de ^-ff^ == 500 fr. Si elle n'avait dépensé donc que 2000 — 500 = 1500 fr. de plus que la 1" personne, elle n'aurait dépensé que son revenu, donc un | de son revenu de plus que la l"* qui épargne autant.

Puisque le 7* du revenu fait 1500 fr. ; le revenu entier s'élève à 7 X 1500 fr. = 10500 fr.

413. Problème XI — Une dame a l'intention de partager une certaine .somme par parties égales, entre vn certain nombre de pauvres ; elle songe d'abord à donner 50 t-""'* à chaque pauvre, mais pour réaliser ce dessein il lui manque 60 c""^' ; alors elle se résoud à ne donner que 40 c""** à chaque pauvre, de cette manière il lui restera 90 c""'.

V G OO»^ le

Combien y a-t-il de pauvres et quelle est la somme totale que la dame veut distribuer ?

5oiwfion. — La différence entre 50 c'"*^ et 40 c'"^= est 10c">**; et celte différence de 10 c'"** par pauvre produit une différence totale de 60 + 90 = 150 c"'*= pour ia somme à distribuer ; il y a donc autant de pauvres qu'il y a de fois 10 c'"*^" en 150 c""'^; il y a 15 pauvres.

15 pauvres â 50 c'"'^^ réclament 15 X 500™*^ =- 750 C^^s . mais il manque 60 0"*", donc la somme à partager est de 750 — 60 — 690 c'"^8 =- 0,90 fr.

4-14. Problème XII. — Deux personnes ont louché le même revenu, mais l'une n'ayant dépensé que 3000 />. et l'autre 8000 fr. il se fait qu'il reste à lo. p?'emière personne une somme triple de celle qui reste à la seconde. Quel est le revetiu de chaque personne ?

Solution. — Il reste à la 1™ le revenu moins 3000 et à la 2"* le revenu moins 8000 ; le triple de ce reste ou 3 fois le revenu moins 24000 fr. font autant que ce qu'il restait à la 1" personne ou une fois le revenu moins 3000 ; donc 2 fois ce revenu font 24000— 3000 = 21(K)0fr. ; le revenu s'élève à 10500 fr.

En effet, à la 1'= il reste 7500 et à la 2**'' 2500, et 7500 est le triple de 2500.

415. Problème Xltl. — D'après certaines statistiques, le nombre des hommes qui peuplent la terre, peut approximativement être distribué, comme sitit, entre les cinq parties du monde ,- l'Asie les f^. l'Afrique le y^; l'Amérique le '^; l'Océanie le ^ et CEurope est habitée par 347 millions d'individus environ'. On demande une valeur approximative de la population de toute la terre.

Solution. — Les quatre premières parties du monde comptent les yV + i\ + Tï + 3^5 = IÎt de toute la population ; il reste donc les -^ pour l'Europe.

Si les -^ de la population totale font 347 millions,

■jL - fait HZ

et les j| " font " ' '/' ^ «= 1503 millions

environ d'habitants.

à rAcadémie des st

„Gooi^lc

4-16. Problème XIV. — Un voj/ageur pari i jours après un autre et il doit le rejoindre à la fin du septièine jour. Combien de lieues devra-t-tl faire par jour, sachant que le voyageur qu'il poursuit fait huit lieues par jour ?

Solution. — Le voyafteur qui est poursuivi a voyagé pendant 4 -1-7 =-11 jours, quand il est atteint; il a donc fait 11x8 lieues = 88 lieues ; cette distance doit è(re parcourue en 7 jours par lauire voyageur ; celui-ci fera donc ^ = 12 y lieues par jour.

417. Problème XV. — Deux personnes partant à pied, l'une de Gand, l'autre d'Anvers, vont à la reJïcontre l'une de l'autre ; au bout de combien d'heures se rencontrerontelles, si l'une fait 5 kilomètres à l'heure et l'autre 4 kHom. seulement pendant le même temps? La distance des deux villes est de 54 kilomètres.

Solution. — Elles font ensemble 5 -!- 4 = 9kiloin. à l'heure; op, quand elles se rencontreront, elles auront parcouru ensemble toute la dislance qui est de 54 kilom. ; donc il faudra autant d'heures qu'il y a de fois 9 kllom. en 54 kilom. ; cela fait 6 heures,

418. Problème XVI. — Un chien poursuit un lièvre qui a 85 sauts d'avance ; le lièvre fait 5 sauts pendant que le chien en fait 8; ei 3 sauts du chien valent autant que 4 sauts du lièvre- Combien de sauts le chien devra-t-H faire pour atteindre le lièvre ?

Solution. — Pendant que le chien fait un saut, le livre n'en fait que f ; et celui-ci perd ainsi \ d'un saut de lièvre.

Un saut du chien vaut autant que | de saut de lièvre; donc le chien regagne encore \ de saut de lièvre.

En tout, chaque fois que le chien fait un saut, il regagne ^ -f 1 = i^ d'un saut du lièvre ; donc, pour rattraper les 85 sauts du lièvre^ le chien fera 85 : 77 = 85 X ff -= 120 sauts.

419. Problème XVII. — Quelqu'un a 44 ans et son fils en a 18. Dans combien d'années l'âge du fils ne sera-t-il que les f de l'âge du père ?

Solution. — La différence des deux âges sera toujours de 44— 18 = 26 ans; mais à l'époque demandée, cette différence doit être les f de l'âge du père; donclepèreaura26 : 1 = 91 ans; ce qui arrivera dans 91 — 44 = 47 ans '.

e combien il im]H>rte de tenir compte

„Gooi^lc

420. Problème XVIII, — L'âge d'une personne est actuellement les sept cinquièmes de l'âge d'une autre ; il ya24ans, l'âge lie la 1" était le double de l'âge de la 2"". Quel était ■alors l'âge de chaque personne ?

Solution — L'âge de l'aîné vaut actuellement les sept cinquièmes de l'âge du cadet ; de là résulte que le 7* de l'âge de l'ainé vaut le 5= de l'âge du cadet ; or, l'âge actuel du cadet ■dépasse de 24 ans l'âge qu'il avait il y a 24 ans ; de même l'âge actuel de l'aîné dOpasse de 24 ans l'âge qu'il avait il y a 24 ans, ou ce qui revient au même le double de l'âge du cadet à cette époque ; de sorte qu'on peut écrire légalité des deux fractions suivantes :

le double de l'âge du cadet -I- 24 l'âge du cadet -|- ii4 . 7 "" 5 '

on sait que lorsque deux fractions sont équivalentes, on obtient une fraction encore équivalente aux deux premières en soustrayant celles-ci membre à membre (213) ; par conséquent l'âge du cadet + 24 âge du cadet 5 ~ -Z

ou bien, en réduisant les fractions au même dénominateur deux fois l'âge du cadet -j- 48 = 5 fois l'âge du cadet ; 11 résulte de là que 48 = 3 fois l'âge du cadet.

Il y a 24 ans le cadet avait 16 ans et l'aîné 32 ans ; actuellement le cadet a 16 -(- 24 = 40 ans et l'ainé 32 + 24 = 56 ; et l'on vérifie facilement que 56 = ^ X 40 (Voir note XXXI),

421. Problème XIX. — Les deux aiguilles d'une montre coïncident àmidi. Quand aura lieu la première coïncidence qui suit ?

1" solution. — Le cadran est divisé en 60 parties égales ; la grande aiguille parcourt une de ces divisions par minute, et la petite aiguille qui marche 12 fois plus lentement ne fait que Yi ^^ division pendant le même temps ; donc la 1" aiguille prend sur la 2« une avance de 1 — tt =° n ^^ division par minute.

Or la grande aiguille, pour atteindre la petite aiguille, doit faire d'abord tout le tour du cadran ; donc c'est comme si la petite aiguille avait une avance de 60 divisions ; pour rattraper cette avance il faudra autant de minutes qu'il j' a de fois j^

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de division en 80 divisions ; ce qui fait 60 x ff ^ 65' ^ = 1 heure 5' ^ ' .

2"" solution. — En 12 lieures il y a 11 coïncidences; et l'intervalle de temps entre deux coïncidences consécutives est évidemment toujours le même ; donc le temps qui s'écoule entre deux de ces coïncidences consécutives est jf = l''5' y^.

422. Problème XX. — Une horloge avance de 4 tninule^ en 12 heures, et une autre relarde de 4 minutes en 2i heures; on les règle le lundi ù. midi ; déterminer Theure indiquée par chaque horloge, lorsque l'une avancera de J6'30" sur Vautre, et le jour où cela aura lieu.

Solution. — La 1" horloge avance de 8' en 24 h., et la 2*" retarde de 4' ; par suite, elles auront 12' de différence en 24" ;

pour avoir 16' 30" ou 16',5 il faudra — '—r^ ou 33 heures

ou 24» + 9^.

Il sera donc 9 heures du soir (heure vraie). La 1™ horloge indiquera 9 + — ^^— ou O^ll' du soir; la 2" horloge

indiquera 9'' 57 — ou 8" 54' 30" ; ce qui arrivera le mardt

soir.

423. Problème XXI. — Un domestique s'est engagé pou:un an, aux conditions suivantes : 360 fr. de gages, une livrée, le logement et la nourriture. Après 5 mois le domestique se relire avec ^autorisation d,e son maître qui lui laisse la livrée et lui donne encore 10 fr. pour solde de compte. — Quelle est la valeur de la livrée ?

Solution. — Les 7 mois qui restent pour achever l'annéo rapporteraient encore 360 — 10 ^ 350 fr. au domestique ; donc on peut dire que le domestique gagne ^- — 50 fr. par mois pour ses gages et sa livrée et 12 X 50 fr. «ôOOfr. par an; donc la livrée vaut 600 — 360 = 240 fr.

I. On pourrait aussi résoudre de la mfme manière la question la condition que la grande aiguille soit de ]5, 30, 23 ... quelconque de diviaious en avance au de 15, SO, 23 ... de divis ou biSD encore que la grande aiguille fasse un angle droit aveo 1 •ur le prolongement de la plus petite, ato., eto.

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424, Problème XXII. — Un délaillant achète d'abord 8 kilogr. dune certaine espèce de marchandises et 19 hil. d'une autre espèce, et sa facture s'élève à 16,45 fr. ; ensuite il fait un second achat de 20 kil. de la l'^ espèce et 16 kil. de la 2""- et sa facture est de 23,80 fr — Quel est le prix dun kilogr. de chacune des deux espèces de marchandises ?

Solution. — On trouverait facilement ]a réponse si les deux acliats comprenaient un même nombre de kil. d'une espèce. Cela posé, si l'on remarque que le moindre muUiple de S et 30 est 40 et que ^ = 5 et |f = 2, on voit que si l'on prend 5 fois le premier achat et 2 fois le 2", on obtiendra, pour les deux achats, le même nombre de kil. de la 1" espèce. En effet UOkil.de lai" espèce + 95 kil. de la 2= coulent 82,25 fr.

alors j 40 « - +32 - - 47,60 -

La différence qui est le prix de 63 kil. de la 2« espèce s'élève à 34.65 fr.; donc 1 kil. de la 2' espèce vaut 34,65 : 63 — 0,55 fr.

Alors, les 19 kil. de la 2* espèce lors du 1" achat ont coûté 19 X 0.55 fr. =. 10,45 fr ; donc les 8 kil. de la I" espèce ont coulé 16,45 fr. — 10.45 fr. =- 6 fr. et un kil. de la 1" espèce coûte 6 fr. : 8 = 0,75 fr. '

425. Problème. XXIII. — Trois personnes se mettent au jeu et elles conviennent que le perdant doublera ^argent des deux autres ; après trois parties successives il reste 40 fr. à chaque joueur. Combien chaque personne avait-elle en se 7neltant au jeu, sachant que chacune d'elles a perdu une partie à son tour ?

Solution^. — Écrivons sur une ligne la somme que chaque joueur a ;

1'"' perdant. 2* perdant. 3" perdant, après la 3" partie. ... 40 40 40

avant - ... 20 20 80

« la 2* partie. ... 10 70 40

- la 1" » . . . 65 35 20

Réponse. — En se mettant au jeu, la personne qui a perdu la 1" partie avait 65 fr., celle qui a perdu la 2" partie avait 35 fr. , et celle qui a perdu la 3" partie avait 20 fr.

1. Cette métliode peut être appela de Tédttrtion à un même terme de eojnpa-

2. La méthode appliquée à cette solution eit dite la ■mêOiode rétrograde.

„Gooi^lc

4Z6. Problème XXIV. — Un marchand prend, chaque année, sur le capilal qu'il emploie pour son commerce, 4000 /)■. nécessaires pour les besoins de son ménage ; à cattse de ses bénéfices, son capilal augmente, à la fin de choque année, du tiers de ce qui lui reste. A la fin de la 3* année, il a le double de ce qu'il avait en commençant son commerce. — Quelle a été sa mise de fonds ?

Solution — Le marcband prend ■1000 fr. de son capital, il lui reste donc la mise de fonds — 4000 fr ; mais à cause des bénéfices, il a à ta fin de l'année un tiers de plus, soit les ^ de la mise de fonds — j x 4000 fr.

Il prend sur cette somme 4000 fr. ou ^^j^ fr. il ne lui reste donc que les J de la mise de fonds — ^-S§^ fr.; mais comme, avec ses bénéfices de l'année, il a un tiers de plus, il possédera les 5 des | ou -^ de la mise de fonds — ^ X ^ 'j — fr.

Enfin il prend 4000 fr. ou ^^^ fr., il reste les ^ de la mise de fonds — liMM fi et avec le bénéfice de la 3* année un tiers de plus, donc les ^ des ^ de la mise de fonds — j x .iiMifi ff .

Ce reste est égal au double de la mise de fonds = f^ de la mise de fonds ; par conséquent les |^| — fj = jy de la mise de fonds font 5 X '*'""" ^» s^ionn f[. QJ^ trouve ainsi que le capital demandé — ^r^ : ^ = 59200 fr.

427. Problème XXV. — Quelqu'un qui a des jetons dans les deux mains dit : si je fais passer un jeton de la main gauche dans la main droite, il y en a, dans celle-ci, deux fois plus qu'il en reste dans ceue-là ; mais, au contraire, si f avais fait passer un jeton de la droite dans la gauche, il y aurait eu le même nombre de jetons dans les deux inains. — Combien y a-t-il de jetons dans chaque main ?

Solution. — D'après la 2^* condition i! y a évidemment deux jetons de plus dans la main droite que dans la gauche.

Quand on fait passer un jeton de la gauche dans la droite, la différence augmente de deux jetons et l'on voit ainsi qu'il y a alors 4 jetons de plus dans la droite que dans la gauche; or, d'après la 1" condition, il y a alors deux fols plus de jetons dans la droite que dans la gauche et la difierence est précisément égale an nombre des jetons qui se trouvent encore dans la gauche.

Il reste donc 4 jetons dans la gauche et 11 y en a 8 dans la droite ; et en faisant repasser un jeton de la main droite dans la gauche on trouve enfin qu'il y avait d'abord 7 jetons dans la droite 5 dans la gauche.

428. Problème XXVI. — Dans une réunion âe personnes, il y avait d'abord trois fois plus (f hommes que de femmes ; après le départ de 8 couples, le nombre des hommes est 5 fois plus grand qite celui des femmes. — Combiejt d hommes et de femmes y avatt-H d'abord ?

Solution. — La différence entre le nombre des hommes et celui des femmes élait d'abord de 2 fois le dernier de ces nombres.

Après le départ de 8 couples, c'est-à-dire de 8 hommes et de 8 femmes, la différence devient 4 fois le nombre des femmes qui restent.

Mais, d'après une propriété fondamentale de la soustraction, la différence reste la même quand le nombre des hommes et celui des femmes diminuent tous les deux de 8.

Par conséquent deux fois le nombre primitif des femmes font quatre fois le nombre des femmes diminué de 8, ou bien en prenant la moitié le nombre primitif vaut 2 fois ce nombre diminué de 8 ; ce nombre des femmes est donc 8 ; et il y avait d'abord 8 + 8=16 femmes et 3 x 16 = 48 hommes.

429. Problème XXVII. — Un certain article de consommation est soumis à un droit de 6 fr. par hectolitre ; en conséquence dune réduction de droit, la consommation augmente de moitié, et le revenu dvninue dun tiers. — On demande la valeur du droit après la réduction.

Solution. — Supposons que la consommation soit d'un hectolitre. Un hectolitre donnait 6 fr. de revenu ; la consommation augmente de la moitié donc elle s'élève à 1 5 hectolitre ; mais le revenu diminue de son tiers, donc il n'est que de f X 6 fr. -= 4 fr.

1 ^ ou 7 hectolitre rapportent 4 fr. et un hect. 4 fr. à ; = § fr, = 2 I fr.

430. Problème XXVIII. — Cinq brigands arrêtent un certain nombre de voyageurs et ils exigent de ceux-ci, pour chacun deux, une contribution de 4 fr. par voyageur. Les brigands font le partage de leur butin, mais le chef des brigands réclame ensuite 4 fr. de chacun de ses compagnons, en sa qualité de commandant ; de cette manière sa part est double de celle de chacun de ses subordonnés. Combien y avait-il de voyageurs ?

Solution. Il reste à chaque brigand autant de fois 4 fr. qu'il y a de voyageurs moins un ; le chef a autant de fois 4 fr. qu'il y a de -voyageurs -|- 16 fr., ou bien autant de fois 4 fr. qu'il y a de voyageurs moins un + 20 fr.

V G 00»^ le

Or le chef a le double d'un des autres brigands, donc 8 fr. pris autant de fois qu'il y a de voyageurs moins un.

Il résulte de ce raisonnement que 8 fois le nombre des voyageurs diminué de un valent 4 fois ce nombre + 20, de sorte que 4 fois ce nombre valent 20 ; il ; avait donc 5+1 = 6 voyageurs.

431. Problème XXIX. Un marchand a acheté deux pièces de drap de qualités différentes et chaque pièce lui coûte 840 fr. Un mètre de la V^ qualité coûte les f de plus qu'un mètre de ta 2"", inais la pièce de la meilleure qualité a 6 I mètres de moins. — Combien y a-t-il de mètres dans chaque pièce ?

Solution. — La qualité inférieure coûte en tout 840 fr.; donc s'il y avait eu le même nombre de mètres de la qualité supérieure, on aurait payé pour celle-ci f X 840 fr. = 1080 fr.

mais le marcband ne paie que 840 fr.

Il y a une différence de 240 fp. qui provient de ce qu'il y a 6 1 mètres de moins.

DoncOfm de la qualité supérieure^coûtent240fr.,

1 » « " coûte 240 fr.:6| = 37,50 fr.

C'est le prix de | m. de la qualité inférieure ; donc un mètre de cette qualité coûte 37,50: f = 29ifr. -=29,17 fr.

La pièce de qualité inférieure a 840 : 29 ^ — 28,80 mètres de long ; l'autre pièce a 840 : 37,50 = 22,40 m de long.

432. Problème XXX. — Un cultivateur achète une pièce de terre à raison de 0000 fr. l'hectare ; la pièce contient 6 ares de moins que ne le porte tacte de vente, mais il ne fait aucune réclamation car il peut revendre ta même pièce de terre à 7500 fr. thectare, en gagnant ainsi IG ~ °L sur le montant total de son achat. — On demande la contenance exacte de cette pièce de terre.

Solution. — Un are coûte au cultivateur ^^ = 60 fr.;

il a gagné 16| 7, donc 16 1 X 0,60 fr. =^ «

L'are devrait donc rapporter 70 fr.

Mais il revend l'are à ^ = 75 fr., de sorte qu'il y a une différence de 5 fr. par are ; cette différence provient de ce qu'il y a 6 ares de moins à 70 fr., ce qui fait une perte de 420 fr.

Le cultivateur a donc vendu autant d'ares qu'il y a de fois 5 fr. en 420 fr. ; ce qui fait 84 ares ; il en avait payé 90.

Réponse. — La pièce de terre a une contenance réelle de 84 ares.

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433. Problème XXXI. — Quel même nombre faut-il ajouter aux deux termes de la fraction ^, pour que la nou- 'velle fraction soil égale à } ?

Solution. — Puisqu'on ajoute un même nombre aux deux termes de la fraction f, la différence des deux termes de la nou- Telle fraction non simplifiée sera encore 7 — 5 ou 2 ; mais après avoir simpliiié la fraction, c'est-à-dire après avoir divisé ses deux termes par un même nombre, la diflférence des deux termes est 5 — 7 ^ 1 ; or quand on divise les deux termes d'une difTérence par un même nombre, le reste est aussi divisé par ce nombre ; ■donc la différence des deux termes de la fraction non simplifiée ■étant 2 et celle des deux termes de la fraction simplifiée étant 1 on voit ainsi que la simplification s'est faite en divisant les deux termes par 2 ; de sorte que la fraction non simplifiée est {^ et l'on a ajouté 9 aux deux termes de la fraction ^.

434. Problème XXXII. — On a une fraction dont le numérateur et le dénominateur font ensemble TZ ; si Von réduit cette fraction à sa plus simple expression, la somme du numérateur avec le dénominateur sera 4, et la différence entre les deux dénominateurs sera 51. — Quelle est celle fraction ?

Solution. — Pour réduire une fraction à sa plus simple expression on divise les deux termes par leur p. g. c. d. ; et alors la somme des deux termes est aussi divisée par ce p. fç. c. d.; on trouve ainsi que le p. g. c. d. est ^ =» 18.

La différence des deux dénominateurs qui est 51 vaut 17 fois le plus petit, donc celui-ci est^ — = 3; le numérateur de la fraction réduite est donc 4 — 3 ^ 1 et la fraction même est ^, de sorte que la première fraction est jf .

435. Problème XXXIII. — Un marchand achète une pièce de drap qu'il paie à raison de 10 fr. le mètre ; en la mesurant, il trouve que la pièce a 5 mètres déplus qu'il le croyait; mais le drap est de si mauvaise qualité qu il se voit forcé de le revendre àS fr.le mètre. Toute la pièce étant vendue à ce pria;, le marchand n'a qu'une perte de 13 3 "/• <^^ la somme qu'il a payée. — Quelle était la longueur totale de la pièce de drap ?

Solution. — S'il perd 13 \ "/, donc 1 ^ pour 10 fr., il devrait revendre le mètre à 10 — 1^ = 81 fr., s'il n'y avait pas d'erreur dans le mesurage.

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Mais il ne vend le mèlre qu'à 8 fr., ce qui fait une différence de I fr, compensée par les 5 mètres à 8 fr. qui sont en trop ; il a donc payé, lui-même, autant de mètres qu'il y a de fois | fr. en 40 fr.; ce qui fart 40 : f -- 60 mètres.

436. Problème XXXIV. — Trois bœufs ont mangé, en deux semaines, Cherbe de deiiœ ares de terrain, plus therhe qui a poussé durant ce temps. Deuw bœufs ont mangé, en 4 semaines, Vkerbe de deux ares, plus l'herbe qui a poussé. — Combien faudra-l-il de bœufs pour manger en six semaines l'herbe d'un pré de six ares plus l'herbe qui pousse}~a pendant ce temps ? '

Solution. — Représentons par A l'herbe qui pousse sur une prairie d'un are pendant une semaine et soit x le nombre de bœufs demandé ; on a :

1' 3 bœufs en 2 semaines ont mangé l'herbe de 2 ares -\- Ah. 2-2 - 4 " ■• « 2 - + 8A.

ou bien en doublant le nombre des semaines du 1° pour qu'il devienne égal à celui du 2°.

4" 3 bœufs en 4 semaines ont mangé Therbe de 4 ares + $h.; donc 5" 1 bœuf en 4 semaines mange l'herbe de 2 ares et 6° 2 bœufs en 4 - mangent l'herbe de 4 ares et d'après le 2' 8 A = 2 ares, d'où 4 A = 1 are.

Ona donc les condiiions suivantes :

7" 3 bœufs en 2 semaines ont mangé l'herbe de 3 ares g- 2-4 - " - 4 ares

^'x " Q " ■" " 15 ares

donc 10*1" 4 - " " 2 ares

11"1 - 6 " " - 3 ares

Enfin, pour manger l'herbe de 15 ares en 6 semaines, il faut autant de bœufs qu'il y a de fois 3 ares en 15 ares ; ce qui fait 5 bœufs.

437. Problème XXXV. — La liquidation d'une faillite s'opère le3 juin 18S8. L'actif comprend un capital de 8640/r. et une rente sur VÊtat de 360 fr. en 3 "/o au cours de 79,70. Les créanciers sont : Pierre, à qui il est dû 12G50 fr , ainsi que r intérêt simple à 5 % depuis le 25 octobre 1887 : Louis, à qui le faiUi avait souscrit un billet de SQQOfr. payable sans