ÉnoDcé attribué à Newton

qit.7erib.G00»^IC

intérêt au \" novembre 1888. Selon les usages du commet-ee, ce billet doit subir l'escompte de 6 "/o par an. Partager l'actif entre les deux créanciers .

Solution. — L'actif de la faillite sera de 8iH0 fr. plus la ■valeur de la rente qui est '^"â""'' ou 9654, dont il faut déduire le courtage, (un pour mille) car dans les faillites on réalise ordinairement toutes les valeurs. 9564 — 9,56 ■= 9554,44. L'actif est donc de 8640 + 9554,44 - 18194,44.

Si l'on compte le mois de 30 jours, comme c'est l'usage, à Pierre il est dû 12650 + ^'Vtôf''' ou 13033,01 fr. ; à Louis il sera dû 8600 — ■l "^g^\^^'' ou 8389,30.

Les créanciers se partageront donc 18194,44 fr. en parties proportionnellesà 13033,01 et8389,30dontlasommeest2l422,3l.

Pierre aura '^"'^V-'^'a!' - " = 11066,22 fp.

Louis aura ^ '%7^;2|,'^^'" -= 7125,22 fr.

438. Problème XXXVL — Un pè^'e partage son héritage entre ses enfants de la manière suivante : le premier aura 10000 fr. plus le 5« du reste, le 2* 20000 fr. plus le 5* du nouveau reste, le 3^ 30000 fr. plus le 5' du reste, et ainsi de suite. Il arrive que l'héritage est entièrement partagé quand le dernier enfant a reçu sa part; de plus les enfants ont reçu des parts égales. On demande la valeur de l héritage, le nombre des enfants et la part de chaque enfant.

Solution. — (Méthode des hypothèses, voir le renvoi du problème III), Supposons que la somme à partager soit de 100000 fr. La part du premier serait de 10000 fr. plus du 5" du reste ou 18000 fr., donc en tout de 28000 fr.; il reste alors 72000 et la part du 2" serait de 30400 {même calcul que pour le l"). Les deux parts au lieu d'être égales différeraient de 2400 fr.

Supposons que la somme à partager soit de 110000 fi", ; en raisonnant comme dans l'hypothèse précédente, on trouverait que la différence des deux paris ne serait plus que de 2000 fr.

Si la somme à partager était de 120000 fr. la différence serait réduite à 1600 fr. Par conséquent chaque fois qu'on augmente l'héritage de 10000 fr. la différence des deux premières parts diminue de 400 fr.; or, quand l'héritage est de lOOOOO fr. la différence est de 2400 fr. et pour que cette différence soit nulle, il faut que l'héritage soit augmenté d'autant de fois 10000 fr. qu'il y a de fois 400 fr. en 2400, donc de 60000 fr.

L'héritage est de 160000 fr. Chaque enfant recevra 40000 fr. et il y a quatre enfants.

V G OO»^ le

439. Probi^me XXXVII, — Un moribond gui a ses deux fils à l'armée, et qui a appris que tun des deuan a été tué sur le champ de bataille, dit à sa femme : Si l'aîné revient je vous prie de lui donner les ^ de noire fortune el de conserver le reste pour vous; mais si c'est le plus jeune qui a survécu donnez-lui les f de notre fortune. Après la mort du pèi-e, les fils reviennent tous les deux. — Comment la mère partagera-t elle la fortune pour rester fidèle au désir de son mari?

Solution. — Quand l'aloé reçoit les — la mère conserve les -^ ; » It^ cadet - f ou -jt; " >• -j^ ;

Donc pour les A de la mère, il y a les ^ pour le cadet; et pour les -nide la mère, il y aurai t les -.y^ ^=-|j pour le cadet.

Il résulte de là que si l'atné reçoit les ^. la mère doit avoir les Yn et par conséquent le cadet les ^ ; ou bien ^ pour l'alné, f^ pour la mère et jj pour le cadet. Le problème est ramené à partager la fortune proportionnellement aux nombres 8, 2 1 et H.

L'alné recevra les ^, la mère les^j et le cadet les j^ de la fortune.

440. Probi^me XXXVIII. — Un Turc meurt ; il laisse 17 chameaux dans ses écuries et par testament, les lègue dans la proportion suivante, à ses trois fils : l'aîné 7'ecevra la moitié du legs; le second, un tiers et le cadet un neuvième. — Que fera l'exécuteur testamentaire pour satisfaire à ces stipulations? (Cette question est connue sous le nom de problème des 17 chameaux. )

Solution. — L'iiistoire raconte que l'exécuteur testamentaire courut conter son cas au cadi ; celui-ci convoque les trois flis et fait amener dans sa cour les 17 chameaux ; puis il envoie emprunter à son voisin un autre chameau. Il y a donc dans la cour 18 chameaux. Le cadi commence le partage : la moitié des 18 chameaux, soit 9 chameaux à l'alné ; le tiers soit 6 chameaux au second ; le neuvième, soit 2 chameaux au cadet; total 9 + G -h 2 = 17 chameaux. Le 18* chameau ayant servi à résoudre la difficulté est renvoyé avec remerglments à son propriétaire Les flIs ne peuvent rien réclamer, puis qu'ils ont tous eu plus que leur compte.

Ce problème peut être résolu comme le précédent ; le 1" doit avoir i, le 2° ^ et le 3" J- ou ■^, -^ et ^ ; donc il faut partager les 17 chameaux proportionnellement aux nombres 9, 6 et 2; et comme la somme de ces nombres est précisément 17, le 1" aura 9 chameaux, le 2' 6 et le 3° 8.

qit.7eribvG00»^IC

44t. Problème XXXIX. — AlravailleVijoursdepltisgueït, pour tm salaire différent; A gagne en tout 96 fr. et B 54 fr. Si A travaillait le nombre des jours de B et B le nombre des jours de A, ils recevraient chacun ta même somme. —• Combien de jours chacun a-t-il travaillé, et quel est leur salaire journalier ?

Solution. — SiAtravaillattle même nombre de jours q je B, et B lé même nombre de jours que A, ils gagnent la même somme ; il résulte de là que le produit du nombre des jours de B par le salaire journalier de A est égal au produit du nombre des jours de A par le salaire journalier de B ; et, l'on peut écrire : le n des jours de A : n. des j, de B = le s. j. de A : s. j. de B; d'ailleurs on a identiquement ;

le n. desjoursde A: n. desj.de B =- len.desj.de A:n des j, de B et en multipliant les deux égalités terme à terme : le carré du n. des j. de A : carré du n. des j. de B = 96 : 54 oa ■ 16 : 9:

en extrayant la racine carrée de tous les termes : le n des j. de A : n. des j. de B — 4 : 3 ; donc aussi

le n. desj. de A : la différence des 2 n. de j. ou 6 = 4 : 1 ; donc le n. desj, de A = 24 ;

B — 24— 6 — 18; le salaire journalier de A = H = 4 fr.

B = fl = 3 fr.

442. Problème XL. — On a deux pièces de vin de prix différents, contenant, la l"' 176 litres, et ta 2* 324 l. On tire de chaque pièce la même quantité de vin, et on met dans la 1"^ ce qu'on a tiré de la 2* et réciproquement. Quelle quantité de vm a-t-on dû aussi échanger pour que les deux pièces de vin soient de même qualité ?

Solution. — Pour que les deux pièces de vin soient de même qualité il faut que la proportion des vins de l'un et de l'autre prix soit ta même dans l'une et dans l'autre pièce. Cela posé représentons par q la quantité de vin prélevé dans chaque pièce ; dans l'un des tonneaux il y aura q litres de la i" qualité, p, ex., et 176 — 5' de la 2" et l'on doit avoir

en faisant la somme desnumérateurs et des dénominateurs.(218'''')..

V G oo»^ le

— lai —

On déduit de celle formule que 170 x J =-= 176 x 324 — 324 x q, ou bien que 170 X q -\- 32i x g = 176 x 324, donc 500 X 3 = 176 x 324, et 5 = 176 X 324:500 = 114,048 litres.

443. Problème XLI. — Le fondateur dune société enrôle chaque année mh membre ; pendant chacune des années qui suivent celle desoii enrôlement, chaque premier membre en enrôle un 2". chaque 2" un 3", et ainsi de suite. Quel sera le nortbre total des membres au bout de la

Solution. — On fera le tableau suivant :

Nombredesl*" membres 1 + 14-1 + 1+ 1+ 1+ 1+ 1= 8 2"^ - . 1+2+3-1- 4+ 5+ 6+ 7= 28

Totaux. 1+2+4+8+16+32+64+128=255

4*4. Problème XLII. — Si je donne 4706,10 fr. pour

acquitter une dette, je paie une somme trop considérable,

dont l'excédant est le triple du déficit qu'il y aurait si je ne

donnais que 1562,30 fr. — Quelle est ma dette?

Solution. — Traçons une ligne AB qui représente la dette ;

AC représente les 1562,30 fr. et

] 1 — I 1 AD représente les 4706,10 ;

A C B D d'après l'énoncé, BD vaudra 3

fois BC ; or, si de AD = 4706,10 on retranche BC = 1562, 30, le reste CD = 3143,80 vaut 4 fois BC ; donc BC = 785,95 fr. ; et la dette AB = AC + CB = 1562,30 + 785,95 " 2348,25 fr.

445. Problème XLIII. — Une personne dit à une autre' fat deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais Tâge que vous avez ; et quand vous aurez l'âge que ) ai, nous aurons à nous deux 63 ans. Quel est mon âge?

Solution. — Pour obtenir l'âge que vous aviez quand vous aviez mon âge actuel, je dois diminuer votre âge actuel delà différence de nos deux âges ; et pour avoir mon âge à cette époque, je dois aussi diminuer le mien de la même différence; mais votre âge actuel vaut le double de cet âge que j'avais,

V G OO»^ le

de sorte que voire âge actuel vaut deux fois votre âge actuel moins quatre fuis la dififéreace ; donc votre âge actuel vaut 4 fois la différence de nos deux âges.

Quand j'aurai l'âge que vous avez, vous aurez la différence en plus, de sorte que nos deux âges vaudront 2 fois votre âge actuel plus la différence, donc 8 fois la diflférence plus la différence ou 9 fois la diflférence ; cette somme est de 63 ans. donc la différence de nos âges est de 1 ans.

Vous avez 4 fois celte différence, ce qui fait 28 ans.

446. Problème XLIV. ~ Partagez, entre trois paysannes, 21 tonneauœ, dont "pleins, 7 vides et 7 demi^tdes, de façon que chacun ait la même quantité de vin et de tonneaux ; les tonneaux ont tous la même contenance.

Solution. — Le contenu total étant de 21 demi-tonneaux, chaque, part devra être de 7 demi-tonneaux, et devra donc contenir un nombre Impair de tonneaux demi-pleins, inférieurs à 7 ; par conséquent 1, 3 ou 5.

On pourra donc donner à chacune des deux premières personnes, l ou 3 tonneaux demi-pleins indifféremment, ce qui oblige à leur donner 3 ou 2 tonneaux pleins pour compléter les 7 demi-tonneaux.

Par suite on a les deux solutions suivantes :

Tonn pleins vides demi-pleins.

1" personne. . . 3 2 3 2 13

2" " ... 3 ou 2 3 ou 2 1 ou 3

447. Problème XLV. — Les trois Grâces rencontrent les neuf Muses. Les Grâces portent chacune un nombre égal doranges et elles en donnent à chacune des Muses un même nombre ; il arrive alors que les Muses en ont chacune autant qu'il e)i reste à chacune des Grâces. — Combien chaque Grâce avait-elle d'oranges, et combien chacune en a-t-elle donné â chaque Muse ?

Solution. — Chaque Grâce donne en tout 9 fois ce qu'elle donne à une Muse et chaque Muse a en tout 3 fois ce qu'elle reçoit de chaque Grâce ; donc te nombre des oranges qu'a chaque Grâce diminué de 9 fois le nombre que chaque Grâce donne à une Muse = le nombre des oranges qu'a une Muse ou 3 fois ce que donne une Grâce; ou bien en&n ce <\}i6 possède une Grâce vaut 12 fois ce qu'elle donne à une Muse. Il n'y a pas d'autre condition et le problème est indéterminé.

;yGOO»^IC

Par ex. supposons que chaque Grâce doBoe une orange à chaque Muse, alors chaque Qrâce a eu d'abord 12 oranges et chaque Muse en aura 3 avec le don des Grâces ; en effet chaque Grâce donnant une orange à chacune des 9 Muses, il lui en reste 12 — 9 = 3, et chaque Muse en reçoit 3 ce qui est le même nombre ; pour que chaque Grâce donne 2 oranges à chaque Muse, il faut que chaque Grâce ait 12 X 2 or. = 24 or.; en effet 2 or. à chacune des 9 Muses font en tout 18 or.; il en reste 24 — 18 ^ 6 à chaque Grâce et chaque Muse a 3 X 2or. = 6or., nombre égal.

448. Problème XLVI. — Trouver un nombre gui soit égal à la somme des chiffres de son cube '.

Solution. — Le nombre et son cube divisés par 9 doivent donner le même reste ; un cube étant nécessairement un multiple de 9 ou ce multiple plus ou moins un, il en est de même des nombres satisfaisants à la condition posée.

Ces nombres ne peuvent se trouver que parmi les nombres d'un ou deux chiffres, car, le cube d'un nombre de trois cbiffre» ayant au plus neuf chiffres, la somme des chiffres de son cube est inférieure à 81 < 100.

Le cube d'un nombre de deux chiffres ayant au plus six chiffres, la somme des chiffres de son cube est inférieure à 54.

Il faut exclure 53, dont le cube est terminé par 7, la somme des chiffres ne pouvant excéder 52 ; de même que 44, 45, 46 dont le cube, composé de cinq chiffres, est terminé par 4, 5 ou 6, la somme des chiffres ne peut excéder 43.

En formant les cubes des nombres satisfaisant à la condition d'être des multiples de 9 ou des multiples de 9 plus ou moins un de 1 à 37, on trouve les solutions suivantes :

Nombres. 1. 8, 17, It^, 26, 27*,

Cubes. 1, 5!2, 4913, 5382, 17576, 19683.

Il n'y a pas d'autre solution.

Remarque. — Cette méthode d'exclusion peut être utilement employée pour la résolution de certains problèmes.

1. Ca probUme a étd proposé dana !ea NotiveUei annulce de Mathénaliqva de QéTooo, par M. Laieant et résolu par M. Morel-Blanc.

2. Ces nombres jouissent d'une propriété fort curieuse : o'eet que Itur somme augmentés de l'exposant S d'un ci^ fait précisément le carré de 10.

„Gooi^lc

449. Problème XLVII. — Quelques personnes voudraient acheter un objet en commun ; la dépense totale serait de 144 fr. ; 3 personnes s'associent encore aux premières pour cet achat et la part de chaque personne est ainsi diminuée de 4 /)■. Combien y avait-tl d'abord de personnes.

Solution. —Représentons le nombre primitif de personnes par n et la part de cbacune par p ; avec le concours de A personnes , il y a n + 3 personnes et la part de chacune est de jD — 4 ; comme la somme totale est restée ta même, on peut ccriro ■

n X p = {n + 3) X Ip —4) = 144j d'où la proportion

n-\-S : n = p : p — 4 ou bien, en Tertu d'une propriété des proportions

Z : n = 4 : p — 4, donc aussi 3xp: nxp = 4:p — 4

ou bien 3 x p: 144 =-4:^ — 4

ou plus simplement p. 4S~=4: p — 4 d'où jb (p — 4) — 192

Le problème est ramené à trouver deux nombres dont la différence est 4 et le produit 192 ; pour trouver ces nombres décomposons !92 en ses facteurs premiers ; il vient : 192=2* X 3=2 y {2^ x 3)=2' X [2' x 3) - 2» X {2«)=2* X (2* x 3) etc. Le seul produit dont la différence des facteurs est 4 est 2*x(2«x3)ou 16x12; donc;) = 16et n = 144:^= 144: 16^9.

Réponse. — Il y avait primitivement 9 personnes qui auraient du payer 16 fr. chacune ; en effet, s'il y avait 3 personnes de plus il v aurait 12 personnes qui ne paieraient plus que 144 : 12 = 16 — 4 fr. (Note XXXII.)

V G oo»^ le

Questions proposées dans les concours des Athénées et des Collèges.

Butaut que cliarmi de ses deui fils, et olianue garçon le double de la part de sa lille. Que revient-il à chacune de ces quatre jiersoimes ! i4f latine, 18*8;.

II. A quel taux d'iutérSC simple faudrait-il placer un capital pour qu'au bout de 15 ans iUe fût accru dans le l'apport de 5 à 8! (4> latine, 1849).

III. Partagez la eomme de 7070 fr. entre i personnes, d'après les conditions suivantes ; quand la t" en reçoit 6, la 2** doit en avoir 8 ; quand 18 2™ en a 4, la 3°» doit eu avoir 6 ; et la 4'"' doit en recevoir 12 quand la 3™ en reçoit 10. (*< latine, 1860).

IV. J'ai acheté 100 bouteilles d'eau- de- vie à Bordeaus, à 1,60 fr. le litre, et les ai vendues en Angleterre à 5 shillings fldenîers le gallon (de 3,834 litres) tous frais déduits. La livre sterling étant au ccurs de 26,40 fr., quel est le bénéfice de cette spéculation ? (Section commerciale, 1851).

V. Daus négociants ont fait une entreprise dans laquelle le 1" a mis 9000 fr. jiendant 7 mois et le 2^ ISOOO fr. pendant 4 mois ; le bénâRce sur lequel on a prfflevé 12 "/,. pour couvrir une dépense imprévue, se réduit à 6280 fr. Quelle est la prt de chacun dans ce bénéfice 1 Quel eût été le bénéfice total sans cette dépense imprévue 1^3' professionnelle, 1852).

VI. Combien y a-t.i1 d'or et d'argent dans un alliage qui pèse l'2 kilogr., et dont le poids daus l'eau se réduit à Il,3i8 kg. On sait que l'or |iesé dansl^au perd les 0,052 de son |>oids et que l'argent y jierd les 0,0!>9 de son poids (ibid )

VII. 35 ouvriers ont fait en 1 6 jours, un travail de 270 mètres, dont la difRculté était re;irésentée par ^. D'un autre c^té, 50 ouvriers de mËme force que les premiers et travaillant pendant le même nombre d'heures par jour, ont fait un travail de 999 m., dont la difficulté était ,.^. On demande pendant combien de jours ces dernier» ont travaillé (4" latine, 1864),

VIII. A quelle lieure aura lieu la renooutre de deux courriers qui marchent en sens contraire et sont d'abord sépai'éa par un intervalle de 34 kilom. 1 Le 1" courrier part à 1 h. 20' et fait 7 kilom, à l'heure ; le 2'* se met en route a 2 h. seu'ement et fait 9 kilom. à l'Iieure (4' latine, 1366).

IX Trois personnes achètent un numéro à la loterie ; la 1" paie 150 fr. ; la 2J» 75 fr. et la 3» 25 fr. : leur n» commun donne un gain de 1300 fr. Combien chacune aura-t-elle r (i' latine, 1857).

X. Potager 1023 ir. entre tro lorsque la 1" en reçoit 3, et qu£ (4" ]atine,lS58).

SI. Trois fontaines A, B, C donnent ensemble 206 litres d'eau par minute. La fontaine B ne fournit que les ! de la quantité d'eau que donne la fontaine A, et si la fontaine C donnait )0 litres de plus, elle fournirait la moitié de ce que les deux autres djuuent ensemble. Oa demande oombieu de litres d'eau chaque fontaine donne ]iar minute (4' latine, 1861V

XII. Un homme laisse la moitié de sa fortune éraluée à 732532 fr. à son frère; un neuvième à son cousin, et le re^te aux hospices. On demande l" si l'on peut

„Gooi^lc

affirmer, pr^lablement à tout caloul, que les trois parta formeroiit des nombres entiers de traces ; 2" de démontrer, daua te cas d'affirmative, lea tliéorèmes sur lesquels peut reposer cette affirmation ; 3" enfin de calculer les trois parts (4- latine, 1871).

XIII. Quatre personnes ont constitué une société au capital de 12000D £r., et dont elles doivent se partager les Mnéfioes proportionnellement à leurs mises. La mise du l=r associé a servi aux frais de premier âtablis^ment ; la mise du 2™ aurait été le tiers de la misa du l^r, s'il avait donné 200D fr. de plus ; il a manqua au 3™ associé 600O fr. pour que sa miss p4t former un© somme égale à ta moitié de celle qu'ont fournie ensemble les deux premiers; aniin, la mise du 4™' n'a Été que le cinquième de la somme des mises de ses trois associés. Le bénéfice de la société ayant été de 8400 fr., on demande quelle sera la part de cliaque associé dans ce bénéfice (ibid.).

XIV. On fait partir d'Oatenda pour Verviers un courrier qui parcourt S kilom. dans une heure ; neuf lieures après, on fait partir, pour la même destination, un 2^ courrier, qui fait 12 tilom. en une lieure. A quelle distance de Verviers celui. ci atteindra-t-il le 1", las deux villes étant distantes de 240 kilom.?

A quelle distance de Verviers se rencontreraient les deui ooarriers, si celui qui fait 8 kilom. eo une beure partait d'Ostende et si, au mcme instant, l'autre courrier partait de Verviers pour aller à la renoontre du premier! (4' latine, 1873.)

XV. Trois ouvriers A, B, C font ensemble par jour, 132 m. d'ouvrage; B ne fait que les ^ de l'ouvrage de A, et aï C taisait 12 m. de plus, il ferait la moitié de ce que A et B font ensemble. Ou demande combien de mètres d'ouvrage cLaque ouvrier fait par jour (4* latine, 1874).

XTI. 27 ouvriers ont fait, en 18 jours, un travail de 810 m., dont la difB. culte était représentée par -^. D'un autre côté, 43 ouvriers ayant la même force que les premiers et travaillant pendant la mfime nombre d'heures par jour, ont fait un travail de 1280 m., dont la difficulté était représentée par J. On demande pendantcombieudejourscesderniersont travaillé (4^ latine, 1S78).

XVII. Deux négociants se sont associés pour uoe entreprise qui a duré 13 mois et dans laquelle ils ont gagné 28000 fr. Le premier a mis 3000 fr. au cjmmenoement de l'entreprise et a ensuite retiré 20000 fr. au bout de 12 mois. Combien a dû. mettre la ^ pendant les 10 derniers mois ;>our avoir 9000 fr. dans le bénéfice ! (4' latine, 1880.)

XVJII. 18 ouvriers dont la force est représentée par 3, ont fait en 26 jours 1200 m. d'ouvrage dans un terrain dont la difficulté est représentée par f. D'un autre côté, 20 ouvriers, avec 2 de iorce et travaillant pendant le même nombre d'heures par jour que les premiers, ont fait IfiOO m. d'ouvrage dans un terrain dont la difficulté est représentée par \. On demande pendant combien de jours ces derniers ont travaillé [4= latine, 1881).

XIX. Trois personnes ont mis eii commun à intérêt une somme de 16000 fr. Au bout de 5 ans, elles ont retiré, tant pour le capital que pour les intérêts simples, la prïmièio 5000 fr., la seconde 6250 fr., et !a troisième 87G0 fr. Trouver les mises particulières et le taux de l'intérËt (4° professionnelle, 1382).

XX. On a une sphère eu bois de 15 centimètres de rayon ; quel sera la diamètre de la sphère en fer qu'il faudra y attacher pour que la boule s'enfonce dans l'eau des trois quarts du diamètre ! La densité du bois est 0,3, celte du fer est 7,7. (l" commerciale, 1888.)

V G oo»^ le

„Gooi^lc