CHAPITRE X

1. re Question. On a mêlé ensemble 3 bouteilles de vin h 45* la bouteille , et deux idem a 3o‘ : on demande le prix de la bouteille du mélange ?

3 bouteilles à 4-5’ donnent .... i35‘

2 idem à 3o* 6o*

La somme des prix , divisée par le nombre des bouteille», c’est-à-dire , le prix moyen est 3g* : or ,

43 — 3g = 6 , 3g — 3o = g et on a 6 : g = 2 : 3.

On peut multiplier les questions de ce genre , et reconnaître ainsi par le fait la vérité du théorème énoncé.

2. c Question. Un marchand a acheté du vin de plusieurs especes , savoir :

i3o bouteilles à 10 décimes la bouteille

Il les mêle ensuite , et on demande ce que vaut la bouteille du mélange ?

Pour résoudre cette question, on cherchera ce que coûte la totalité du mélange , et , divisant cette somme par le nombre des bouteilles mélangées, le quotient sera le prix moyen cherché, parce que chaque bouteille étant à ce prix, celui de la totalité des bouteilles sera le même que celui qui résulte des données.

On se sert encore de la règle précédente pour prendre un milieu entre divers résultats donnés par l’expérieuce ou par l’observation , et qui ne s’accordent pas entr’eux.

3.“ Question. On a mesure', à diverses reprises , la distance entre deux points assez éloignés : deux fois on a trouvé 37g4,48 mètres , trois fois on a trouvé mètres, une

fois on a trouvé 37g3,n5 mètres ; on demande la valeur moyenne de la distance ?

Les résultats des mesures étant tous différens , il est

assez probable qu’il y a erreur dans chacun d’eux. Si l’on avait obtenu à chaque opération un résultat exact , leur somme serait six fois la véritable mesure. Même conclusion, si quelques-uns des résultats péchaient par défaut , et les autres par excès, de manière qu’il y eût compensation. Généralement , en ajoutant les résultats , il arrive que les erreurs dans un sens, détruisent en partie les erreurs en sens contraire, d’où il suit que l’excédent se trouve d’autant plus diminué , que le nombre des mesurages par lequel on divise la somme , est plus grand. Gn fera donc les produits

3 x SygS, 27 = 1 1385 , 81

Ces six résultats donnent pour somme 22767,885 mètres ; divisant par 6 , on trouve 3794,647 pour valeur moyenne de la distance.

Règle de Mélange inverse.

Dans cette règle , et en ne supposant que deux choses mélangées, le prix de chacune de' ces choses est donné, ainsi que celui du mélange, et on demande dans quel rapport ces choses doivent être mélangées.

Du théorème énoncé dans la règle directe , on déduit cette règle.

Otez le plus petit des deux prix de celui du mélange ; ôtez, le prix du mélange du plus grand des deux prix -, le rapport inverse des deux différences , sera celui des quantités au plus grand et au moindre prix dont le mélange est composé.

i. rE Question. Avec de la poudre a canon h 24 s la livre , et de la poiulre à i 4 ’ , on voudrait composer un mélange du poids de io lb , qui coûtât 20 s la livre : on demande ce qu'il faut prendre du poids de chaque espèce de poudre ( s ) ?

{*) On note la livre par ce signe ,l- Ou peut supposer les prix en sols de France ou de Belgique.

C H A P IT R E X. ' . i 9 5

Suivant la règle, on dira : 20 * — i4* = 6 '; 24’ — ao* c= 4 ’ î I e rapport inverse de 6 à 4 i est I : >1 faudra donc prendre 4** de poudre à i4’ , et C lb de poudre à 24 *. Eu effet, 4 X i4‘ = 56 et 6 X 24 *= >44‘ : ajoutant ces deux prix, on a 200 5 , prix de io ,b du mélange à ao’ la livre.

En effet , le mélange de io u> à ao’ coûte aoo s ; et comme celui de io u * à 24 “ coûterait 240 % il faut diminuer ce dernier prix de 4 °% en remplaçant de la poudre 24 * , par de la poudre à i4‘ ; niais i4’ étant audessous de 24 * de 10 ’, pour chaque livre de poudre à 24 * , remplacée par de poudre à i4“ , le prix 240 * des dix livres , diminue de 10 ’ : il diminuera donc de 4 o‘ en remplaçant 4 lb à a 4 * par 4 lb à i4’. Le mélange doit donc être composé de 4^ à i4“ et de G 11 à 24“. Ainsi le rapport des substances mélangées est, en effet, inverse du rapport des deux différences prises suivant la règle.

Voici un raisonnement bien simple et qui fait trouver, sur-le-champ le rapport entre les nombrès de livres aux prix de a4‘ et de i4 s . Autant on prend de livres à 24 *, autant de fois on prend de trop 4‘ î autant on prend de livres à i4* » autant de fois on prend de moins 6* : de sorte que si l’on désigne par x le nombre de livres à a4‘ et par y le nombre de livres à 4’* on au ra d’une part x X 4’ de trop , et de l’autre y X 6* de moins , et comme les deux sommes doivent ^se compenser pour donner de la poudre à 20 ’, on aura cette égalité

4xi = 6 y. y;

divisant d’abord par 4 j puis par

on aura — = — y y 4

égalité qui indique qu’on doit prendre 6 livres de poudre k 24 * et 4 livres de poudre à 14 *.

2 . e Question. Dans quelle proportion doit-on mêler de la poudre à t.l {.* la livre et de la poudre à i 4 " , pour que la livre du mélange revienne à 20 * ? ,

Pour faire rentrer cette question dans la précédente t

on fixera arbitrairement le nombre des livres da mélange : ayant choisi io lk , par exemple , on trouvera par le problème précédent, que ce mélanger est composé de G* à 24’ et de 4 ft à i 4 “ ; de sorte que le rapport cherché qui est constant, sera celui de 6 à 4 ou de 3 à 2 : conséquent*ment 5 U> du mélange doivent contenir 3 ft à 24’ et 2 Ib à 14*.

3 .* Question. On veut faire un sac de Lié h iy f , en mêlant ensemble du blé à ig f et du blé à i4 f | le sac : quelle portion doit-on prendre du sac à if et du sac à i4 f J ?

Suivant la règle , le rapport des différences de prix étant celui de 4 è 5 , les quantités mélangées doivent être entre elles dans le rapport de 5 à 4 : d’où il résulte que sur 9 parties du mélange , il faudra prendre 5 parties du premier blé et 4 du second. Pour rendre raison de la règle appliquée à l’énoncé, on observera que if étant le prix de chacun des sacs du mélange composé avec des sacs à 19 e et à i4 f | , il faut que 2 f , excès du plus grand prix sur celui du mélange, répétés autant de fois qu’on prend de sacs à 19' , détruisent 2 { § ou f , excès du prix du mélange sur le moindre prix, répétés autant de fois qu’on prendra de sacs à i 4 f I. Si donc ou désigne par x le nombre de sacs a 19* , et par y le nombre de sacs à

i4 f | , on doit avoir l’égalité u y = o, d’où 2x=z — y t

en ajoutant de part et d’autre § y: multipliant par 2 les deux membres de la dernière égalité, on a

et divisant ensuite par 5 , puis para:, on trouve

d’où l’on conclut la règle énoncée.

Les solutions par les égalités peuvent être passées dans une première lecture.

Remarque : dans les mélanges de pins de deux choses, la question d’alliage inverse est généralement indéterminée. ( A!g. I. rc Section.)