CHAPITRE XI

De la suite de Rapports égaux ; des suites improprement dites Progressions arithmétiques et géométriques , et autrement des suites par équidijferences et par équi-quotiens.

De la suite de Rapports égaux.

(ii 5) Le nom de cette suite indique assez clairement qu’elle n’est qu’une proportion géométrique prolongée : nous nous bornerons à la démonstration de la seule de ses propriétés employée dans la gcbinctrie.

Dans toute suite de rapports égaux , la somme des antécédens , est à celle des conséqucns , comme lui antécédent est à son conséquent; ou comme la somme d’un certain nombre danlcccdens est à celle d’un pareil nombre de conséquens correspondons.

Soit la suite de rapports égaux 8 : 4 = 6 : 3 = 10 : 5 = 14 : 7 = 18 : 9 = 20 : 10 qu’on note ordinairement de cette manière:

elle donne lieu à cette autre suite d’égalités 8 6 10 i 4 18 ao

~". r — — 2 « ~~7Z~ —lé- 2 * — 2 } — 2 | — 2 y ■ — — 2 J

multipliant les deux membres de chacune par le dénominateur du premier, et 11e faisant qu’indiquer les multiplications, on aura

18 = 9 x 2, 20 = io X 2

ajoutant maintenant ces égalités membre h membre, et observant que la somme des seconds membres n’est autre chose que le produit de 2, facteur commun, par la somme des autres facteurs 4 + 3+ 5 + 7 + 94-10, on aura

8 + 6+ io + 4+ 18+20=2 (4 + 3 + 5 + 7+ 94- io) où 2 ( ) indique le produit de 2 par la somme entre

crochets. Divisant maintenant de part et d’autre par ce qui multiplie 2 , on aura ces égalités de rapports

d’où résulte la première partie de l’énoncé. Mais si ou n’ajoute que deux, trois, quatre, etc. des égalités (A), et qu’on décompose les seconds membres comme on vient de le dire , c’est-à-dire , eu deux facteurs dont l’un soit 2 , on aura

4 + 3 ~ 2 ’ 4 + 3 + S" 2 ’ 4 + 3 + 5 + 7 ~ 2 etC '

et conséquemment

8 + 6+10 + 4+ i8 + ao 8 + 6 4 d - 3 + 5 + 7 + 9 4 — 10 4 + 3

■ . , M pfp •

d’où on conclut les proportions ou propriétés énoncées.

Plus brièvement, on peut observer que, puisque dans la suite qu’on considère , chaque antécédent est double du conséquent, la somme d’un certain nombre d’antécédens , sera également double de celle d’un pareil nombre de conséquens correspondans ; en effet , que les longueurs A, B, C, D, etc., soient respectivement doubles, triples, qüadruples, etc. des longueurs a, b , c, d , etc. , la somme des premières sera double , triple , quadruple, etc, de celle des secondes, et, en général, chacune des premières longueurs étant un même multiple ,