CHAPITRE XI

ou un même sous-multiple de chacune des secondes , la somme des premières longueurs sera le même multiple ou le même sous - multiple de la somme des secondes , et conséquemment , la somme d’un nombre quelconque des premières longueurs, sera le même multiple ou sous-multiple de la somme d’un pareil nombre des secondes , considérations qui démontrent l’énoncé sans calcul.

Des Progressions et arithmétique , ou suite par, équi- différence s ,

(n 3 ) La progression arithmétique, ou la suite par équi-différcnces, est une suite de nombres dont chacun surpasse ou est surpassé par le suivant , du même nombre d’unités , ou entre lesquels il existe une même différence. Telles sont les suites 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, etc.

24, 22, 20, 18, 16, i4, 12, 10, etc.

la première est dite croissante , parce que chaque terme est plus grand que le précédent; et la seconde est dite décroissante , parce que chaque terme est moindre que le précédent. On note ainsi la progression arithmétique : -f- 1 . 2 . 4 • 6 . 8 . 10 . 12 . 14 . etc.

-f- 24 . 22 . 20 . 18 . 16 . i4 • 12 . 10 . etc.

Il résulte de la définition que la progression arithmétique n’est qu’une suite d’équi-différences, qu’on pourrait écrire comme il suit :

2 — 1= 4 — 2 — 6 — 4 — 8 — 6 = etc.

24 — 22 = 22 — 20 — 20 — 18 = 18 — 16 = etc.

On nomme raison de la suite , le nombre constant qu’il tant ajouter à un terme , ou eu soustraire pour avoir le suivant : à cette dénomination insignifiante , nous substituerons celle de différence constante qui sera dite additive ou soustractive , suivant que la suite sera croissante ou décroissante.

(ii 4) Dans toute progression arithmétique , un terme quelconque est égal au premier augmenté ou diminué d’autant de J'ois la différence constante , qu'il y a de termes avant celui qu'on considéré. ' .

En effet , dans le cas de la progression croissante ,

i.° Le second terme est égal au premier plus la différence constante;

a. 0 Le troisième terme est égal au second terme plus la différence constante , et comme ce second terme est égal au premier plus cette différence, il s’ensuit que le troisième terme est égal au premier plus deux fois la différence.

3.° Le quatrième terme est égal au troisième plus la différence, ou au premier augmenté de deux plus une fois la différence , ou de trois fois la différence.

Et ainsi de suite. Et en général , le terme de la suite dont le rang est ia , ou 20, ou 3o, ou etc. ; est égal au premier plus la différence constante répétée 11, ou 19, ou 29, etc. fois.

En passant de la progression croissante à la progression décroissante, il faut dire diminué au lieu d' augmente', c’est-à-dire, moins au lieu de plus.

(n5) Cette propriété sert i.° h résoudre celle question générale : trois de ces quatre choses , savoir : le premier terme, la différence constante , un terme quelconque , le rang de ce terme , étant données , trouver ( a quatrième : 2. 0 h intercaler entre deux nombres donnés autant de nombres qu’on voudra , et qu’on nomme moyens arithmétiques , sous la condition que ces moyens et les deux extrêmes dômes, constituent une progression arithmétique.

1.” Qu’il s’agisse de trouver le centième terme a: d’une progression croissante ayant 4 pour premier terme , et 5 pour différence additivc : on aura , d’après la loi démontrée (i i4) , x — 4 + 99 X 5 = 499- Si on donnait le premier terme 4» le centième 499» et qu’on demandât la différence pccessai rement addilive et que nous désignerons par y , on