CHAPITRE XI

aurait , d’après la loi , 499 = 4 + 99 X/: retranchant 4 de part et d’antre , il viendrait , 499 — 4 = 99 X y — 4g5 ; divisant de deux côtés par gg, on trouve^ 5. Connaissant le centième terme 499 , lu différence constante 5 , trouver le premier terme z : on a l’égalité 499 = 2 +99 X 5 = z + 4g5 : retranchant de part et d’autre 4g5 , il vient z = 4- Etant donnés le premier terme 4 » la différence constante 5 , et un terme 499 de la suite , trouver le rang de ce terme : désignant par t le rang du terme qui précède immédiatement celui qu’on cherche : on a l’égalité 499 = 4 + 5 x t : retranchant 4 de chaque membre, il vient 4g5 = 5 x l, et après avoir divisé par 5 , on trouve 99 : donc le terme cherché est le centième de la suite,

2.° La solution de la seconde question se réduit h la recherche de la différence constante de la suite. Qu’il s’agisse, par exemple, d’insérer 8 moyens entre 4 et n : cette suite doit être croissante, et comme n en est le dixième terme , on aura, en désignant par d la différence inconnue . et additi ve , 1 1 = 4 + 9 d : retranchant 4 de part et d’autre,

puis divisant par 9 , il viendra — = d : la suite sera donc

Si l’on veut entre o et 1 insérer neuf moyens arithmétiques,' on retranchera o de x , et on divisera le reste 1 par 10 , ce qui donnera o , 1 pour différence constante j en sorte qu’on aura la suite

~ o . 0,1 . 0,2 . o,3 . 0,4 , o,5 . 0,6 . 0,7 . 0,8 .. 0,9 . 1 Si l’on avait à insérer huit moyens enü’e 1 1 et 4 , on serait conduit à une soustraction impossible qu’on peut éviter, en changeant cette question en celle d’insérer 8 moyens entre 4 e t n » et, en général, en prenant pour le premier extrême le plus petit des deux , ce qui rend la progression croissante, et la différence additi ve.

Dig

ARITHMÈTIQU ü.

Des Progressions géométriques ou des Suites par équi- quotiens.

(ii 6 ) La progression géométrique ou la suite par équiquotiens , est une suite de nombres dont chacun est égal au précédent multiplié par le même nombre : telles sont les suites

2, 4 , 8, 16, 3 a, 64 , 128, etc.

i ii 1 i 1 t

*’T ’ T > 8 ’ 76’ 35» 64 etc *

Dans la première qui est croissante , le facteur constant est 2 , et , dans la seconde qui est décroissante , le facteur constant, est —, Généralement, suivant que le facteur constant est plus grand que l’unité , ou une fraction vraie, c’est-à-'dire , comprise entre o et 1 , la suite est croissante ou décroissante, et réciproquement. Ce facteur constant a été improprement nommé raison géométrique. On note ordinairement les progressions géométriques comme il suit :

t 4 2 : 4 î 8 : 16 : 32 : 64 : 128 : etc.

TT I : — - : -V : -7T : ~P : ■=- : JT elQm

elles reviennent à ces deux suites d’égalités

(*) Il faut entendre que chacun des deux termes de la fraction , est lui-même une fraction , et que le trait qui répond au signe — , sépare 1* fraction numérateur de la fraction dénominateur.

. CHAPITRE XI. ao 3

qui ne diffèrent des suites de rapports égaux , qu’en ce que daus les progressions géométriques, le dénominateur de chaque rapport , devient le numérateur du rapport suivant.

(117) Dans toute progression géométrique , un terme quelconque est égal au premier multiplié par le facteur cons tant élevé à une puissance marquée par le nombre des termes qui précèdent celui qu’on considère , ou par le rang de ce terme diminué d'une unité (*).

i.° Le second terme est égal au premier multiplié par le facteur constant;

2. 0 Le troisième terme est égal au second multiplié par le facteur constant : si dans ce produit on remplace le second terme par le produit du premier par le facteur constant , on trouvera que le troisième terme est égal au premier multiplié par le carré de ce facteur;

3 .° Le quatrième terme est égal au troisième par le facteur constant : remplaçant ici le troisième terme par le premier multiplié par le carré du facteur , on conclura que le quatrième terme est égal au premier multiplié par le cube de ce facteur.

On serait pareillement conduit à conclure que les cinquième, sixième, etc., termes, sont les produits dupre» mier par les quatrième , cinquième , etc. , puissances du facteur constant : d’où résulte la démonstration de l’énoncé dans les deux cas de la progression croissante ou décroissante.

(118) Cette propriété sert i.° a résoudre cette question générale : trois de ces quatre choses , savoir : le premier terme , le facteur constant , tut terme quelconque, le rang de ce terme t

(*) Le produit d’un nombre deux, trois, quatre, etc. , fois facteur, a été dit puissance seconde ou carré , troisième ou cube, quatrième, etc.» de ce nombre (92) ; et le nombre considéré par rapport à sa puissance -seconde ouàson carré, troisième ou cube, quatrième , etc., a été dit racinf ■ ecoadc ou carrée , troisième ou cubique , quatrième , etc.

204 arithmétique,

étant données , trouver la quatrième ; 2.° à intercaler entre deux nombres donnés autant de nombres qu'on voudra , et qu’on nomme moyens géométriques , sous la condition que ces moyens et les deux extrêmes donnés , J or ment une progression géométrique.

i.° Qae l’on demande, par exemple, le douzième terme d’une progression géométrique dont le premier terme serait 3 et le facteur constant 2 : suivant la loi démontrée , il faut multiplier 3 par la onzième puissance de 2 , qu’on peut faire de plusieurs manières : le cube de 2 est 8 , le cube du cube, c’est-à-dire, 8 trois fois facteur, ou 2 neuf fois facteur, est 5i2 : multipliant cette neuvième puissance par 4, ou par 2 deux lois facteur, on aura 2 onze fois facteur , c’est-à-dire , 2048 pour la onzième puissance de 2 : faisant le produit de 2048 par 3 , qui est le premier terme , on trouve 6i44> pour le douzième terme de la progression. Etant donné le terme 6 i 44 qu’on sait être la douzième d’une progression géométrique, et le premier terme 3 , trouver le facteur : on est conduit à cette égalité 6 i 44 — 3 X x 11 , x désignant le facteur constant, et a: 11 sa onzième puissance (92) : divisant les deux membres par 3 , il vient 2048 = x“ t ce qui signiGe que 2048 est la onzième puissance de x, d’où il suit que x est la racine onzième de 2048, qu’on ne sait pas extraire, mais qui existe. Étant donné le douzième terme 6i44 d’une progression géométrique , et le facteur constant 2 , trouver le premier terme : on est conduit à l’égalité 61 44 — y X 2 U = y X 2048, y désignant le piemier terme : si l’on divise de part et d’autre par 2048, il vient y •=. 3 qui est, en effet, le premier terme. Enfin étant donné le premier terme 3 d’une progression , le facteur constant 2 , et un terme 6i44 de cette progression , trouver le rang de ce terme : on a alors l’égalité 6 1 44 — 3 X 2 1 , z étant le rang du terme qui précède 6 i 44 : après avoir divisé des deux côtés par 3 , ce qui donne 2048 = 2*, il resterait k découvrir la