CHAPITRE II.* i

plète , on l’énonce comme un nombre «l’un on deux chiffres, ayant toujours soin d’exprimer la dénomination de son unité, c’est-à-dire le nom de la tranche. Les tranches suivantes sont toujours complètes, c’est-à-dire, composées de trois chiffres parmi lesquels il peut y avoir des zéros.

Ainsi, par rapport au nombre ci-dcssas et que nous écrirons ici avec le nombre des tranches ,

billion

millions

mille

unités

on conçoit que, quel que soit l’ordre qu’on suive en lisant les tranches, on ne comptera ni plus ni moins d’unités. On pourrait donc dire

243 millions, x billion, 798 mille, 567 unités, ou 798 mille , 243 millions, 567 unités, 1 billion, ou , etc.

Maison préfère le sens de gauche à droite, parce que, dans tout résultat, ou est curieux.de conuaître d’abord le nombre des plus hautes unités.

Seconde question. Celui qui dicte un nombre ne s’exprime pas autrement que s’il lisait un nombre écrit: il dicte donc les tranches de la gauche vers la droite , et chacune d’elles comme si elle était seule, en énonçant à la suite de chaque phrase numérique le nom de la tranche.

Lorsqu’on a énoncé la première tranche de gauche, ou connaît le nombre total des tranches, et conséquemment celui des chiffres : les tranches omises dans la dictée doivent être figurées par trois zéros , et les tranches incomplètes doivent être complétées par des zéros. « o II est indispensable de beaucoup exercer les élèves sur ces deux questions.

Génération des décimales.

(: 3 ) De ce que l’unité d’un ordre, dans l’arithmétique décimale , en vaut dix de celle de l’ordre immédiatement

i4 ARITHMETIQUE,

inférieur, il suit réciproquement que celle-ci n’est que 1 a dixième partie ou un dixième de l’autre ; en sorte que la progression des unités étant déciqde dans le sens de droite à gauche (6) , est conséquemment sous-décuple dans le sens de gauche à droite : par où il faut entendre que chaque unité est le dixième de sa voisine h gauche. Ainsi, en supposant, pour un moment, que l’unité de mille soit celle de l’ordre le plus élevé , la centaine en est un dixième , la dixainc est le dixième du dixième, c’est-à-dire, un centième , et l’unité est le dixième du centième , c’est-à-dire, un millième. D’où il résulte qu’en coupant l’unité, de mille en dix, en cent, en mille parties égales, on engendre des centaines, des dixaincs et des unités.

On pourra donc concevoir l’unité du premier ordre , ou l’unité métrique, coupée en dix parties égales dont chacune sera un dixième de cette unité; le dixième coupé en dix parties égales dont chacune sera le dixième du dixième , ou le centième de l’unité ; chaque centième coupé en dix parties égales dont chacune sera le dixième du centième, ou le millième de l’unité, et ainsi de suite.

Pour rendre plus sensible la génération de ces dixièmes, centièmes , millièmes , etc. , on pourra prendre une ligne d’une longueur arbitraire , comme représentation de l’unité, la partager d’abord en dix parties égales dont chacune montrera un dixième; partager un de ces dixièmes en dix parties égales dont chacune sera dix fois dans le dixième , et cent fois dans l’unité entière , et représentera un centième ; diviser un centième en dix parties égales dont chacune contenue dix fois dans le centième , et conséquemment mille fois dans l’unité, 4. sera un millième , et ainsi de suite.

Qu’on ait maintenant à écrire trois dixièmes : on aura recours au caractère 3 qui a pour fonction de compter trois unités , quels qu’en soit la grandeur et l’ordre : niais pour rappeler que l’unité du 3 est un dixième de l’unité

GH A FIT RE II. i 5

métrique, on écrira 3 immédiatement à la droite du chiffre des unités, ou du zéro qui en tient la place , en interposant une virgule, ainsi qu’on le voit ici:

Qu’en sus de trois dixièmes , on ait à écrire 4 centièmes : on emploiera le caractère 4 qu’on écrira immédiatement à droite du 3 en cette manière :

Qu’on ait encor 7 millièmes: on écrira 7 à droite dti 4 comme il suit :

et ainsi de suite.

Ces sous-divisions de l’unité métrique ou principale , divisées en dix, cent, mille, etc. parties égales, sont dites unités décimales, dénomination impropre.

Le nombre qui n’est formé que de l’uuité principale et de ses décuples, est dit nombre entier', si, de plus, il renferme des décimales, il est dit nombre décimal.

(14) Dans toute l’étendue d’un nombre décimal, la progression des unités est décuple de droite vers gauche , et conséquemment sous-clécuple de gauche vers droite.

(1 5 ) Les unités décimales sont divisées en ordres comme les unités entières; le dixième est du premier ordre, le centième est du second ordre , le millième du troisième ordre , etc.

(16) Tout nombre exprime combien de fois la plus petite unité est répétée : lorsque le nombre est décimal , cette plus petite unité est celle du dernier chiffre h droite ; cependant comme sa dénomination et sa grandeur sont subordonnées à la dénomination et à la grandeur de l’unité métrique , on doit toujours considérer cette dernière comme l’unité fondamentale : en effet, celle-ci est fixe, tandis que l’autre varie suivant le rang qu’elle occupe.

(17) Dans les systèmes d’aritbmétique que nous avons nommés (9) binaire , ternaire ...... duodécimal , les

tinitës analogues ans décimales , seraient sous-cloiilles ,

sous-triples sous-duodécimales les unes des autres :

ainsi, par exemple, dans ce dernier système, on diviserait l’unité métrique en douze parties égales dont chacune serait dite douzième ; chaque douzième en douze parties égales dont chacune serait dite cent quarante-quatrième ; l’uuité suivante serait un dix-sept cent vingt-huitième , etc.

Préceptes pour lire et pour écrire les nombres décimaux.

(18) Première question. Pour nous expliquer sur un exemple, soit le nombre décimal 2,347 : 011 pourrait d abord lire 2 unités, 3 dixièmes, 4 centièmes, 7 millièmes; ce qui revient, en quelque sorte, à épeler le nombre ; mais en partant de la notion du nombre, donnée (16), on conclut que 2,347 compte autant d’uuite's de l’ordre du 7, c’est-à-dire, autant de millièmes que 2347 compte d’unités métriques , puisque toute la différence entre ces deux nombres , consiste dans la grandeur de l’uuité répétée : le nombre proposé compte donc deux mille, trois cent , quarante- sept , millièmes. Ainsi toute la difficulté se réduit à trouver la dénomination de la plus petite unité décimale. Soit , à cet effet , le nombre

dans lequel les chiffres équidistans de celui des unités, sont les mêmes: les unités du 2 sont des dixaines à gauche et des dixièmes à droite; les unités du 3 sont des centaines à gauche et des centièmes à droite ; celles du 4 son t des mille à gauche et des millièmes à droite ; et en général , les dénominations des unités de deux chiffres équidistans «le celui des unités, ne diiïèreut que par la terminaison ou la finale. Ainsi le septième chiffre à gauche, par exemple , comptant des raillions , le septième chiffre à . droite comptera «les millionièmes. Il est bieu entendu que