CHAPITRE XI

Des Logarithmes.

(12 1) Si l’on a deux progressions quelconques, l’une arithmétique et l’autre géométrique, qui se correspondent terme h terme , les termes de la première sont dits logarithmes des termes correspondais ou de même rang de la seconde. Comme h la même progression géométrique , on peut faire répondre terme à terme, une infinité de progressions arithmétiques , il s’ensuit qu’un même nombre peut avoir une infinité de logarithmes ; et comme aussi à une même progression arithmétique, on peut faire répondre terme à terme une infinité de progressions géométriques, on doit conclure qu’ci un même logarithme peut répondre une infinité de nombres.

(122) Parmi tous ces systèmes de progressions l’une arithmétique et l’autre géométrique , on a choisi le suivant :

1 : 10: 100 i 1000 : 10000 : 100000 : 1000000 : 10000000 : 100000000 , etc., dans lequel la progression arithmétique est la suite des uombres naturels , et la progression géométrique celle des puissances entières du nombre 10 qui est la base de notre système arithmétique.

On remarquera d’abord que le logarithme de l’unité , est zéro , et en second lieu , que le logarithme de l’unité suivie d’un certain nombre de zéros , est égal à ce nombre de zéros t % ou , en d’autres termes , que le logarithme d’une puissance de 10, est égal à l'exposant de cette puissance : cette dernière conclusion est évidente sur les deux progressions précédentes écrites comme il suit :

-r- o • * • 2 .3 .4 .5.6. 7. 8 . etcJ

~ 1 : 10 : (io)* : (10) 3 : (io) 4 : (io) s : (io) 6 : (io)’ : (io) 8 : etc. ; mais la progression inférieure est loin d’olfrir la suite de . tous les nombres et la supérieure celle de leurs logarithmes. Considérons, par exemple, le nombre 3 , qui n’est pas un des termes de la suite géométrique : ce nombre est

compris entre i et 10, et son logarithme se trouve entre o et i , dans la progression arithmétique ; d’où on peut déjà conclure que le logarithme de 3 est plus grand que o et plus petit que i : c’est ce qu’on peut encore affirmer du logarithme de tout nombre entier d’un seul chiffre. Tout nombre entier de deux chiffres tombant entre io et ioo, a son logarithme entre i et a, plus grand que i et plus petit que 2 : tout nombre entier de 3 chiffres tombant entre ioo et 1000 , a son logarithme entre 2 et 3 > plus grand que 2 et plus petit que 3 , et ainsi de suite.

D’où l’on conclut généralement que le logarithme d’un nombre entier , a toujours autant d’unités entières moins me , qu'il y a de chiffres dans le nombre correspondant .

On observera qu’un logarithme ne peut être un nombre entier , qu’autant que le nombre correspondant est une puissance exacte de io* et que pour tout autre nom re, îe logarithme étant contenu entre deux nombres entiers consécutifs, est nécessairement composé d’un entier satisfaisant à la condition énoncée , et d’une fraction décimale infinie (Alg. I. rc Sect. ).

(i 23 ) Revenons au nombre 3 : pour pouvoir assigner effectivement son logarithme , il faut que 3 puisse faire partie de la progression géométrique décuple : or, on conçoit que si entre i et 10, on insérait un très-grand nombre de moyens proportionnels géométriques (118, 2. °), comme on passerait de 1 à 10 par des degrés d’autant plus rapprochés que le nombre de ces moyens géométriques serait plus grand, il arriverait de deux choses l’une, ou que l’un de ces moyens serait précisément le nombre 3 , ou un nombre très-peu différent de 3 , puisque ce nombre se trouverait entre deux moyens géométriques très-rapprochés : cela posé , si on insérait (1 15 , 3 °.) pareil nombre de moyens arithmétiques entre o et 1 , et si l’on prenait parmi ceux-ci celui, qui , par le rang , répond à 3 ou à celui des moyens géométriques qui est sensiblement 3 , on aurait ainsi le logarithme de 3 .