CHAPITRE XI. 20 q

Il faut donc concevoir qu’ayant inséré, par exemple, 10000000 de moyens géométriques entre 1 et 10, pareil nombre entre 100 et 1000, et ainsi de suite, on a inséré même nombre de moyens arithmétiques entre o et i , entre 1 et 2 , entre 2 et 3 , etc. ; et il s’agit de prouver que ces moyens proportionnels, tant arithmétiques que géométriques , insérés entre les termes consécutifs des deux progressions, formeront avec les extrêmes, deux nouvelles progressions.

A cet effet , posons xooooooi = n qui désignera ainsi le nombre des termes qui précèdent celui qu’on considère dans les progressions arithmétiques de o à 1 , de 1 à 2 , de 2 à 3 , etc. ; et désignons parc?, d d’ . . . les différences constantes inconnues de ces progressions : on aura (11 5 , 2 .°) 1= i+sx^i 2 m+nxrf, 3=2-(-«xd", 4 — 3 +n X d", , . égalités qui reviennent évidemment à celles-ci

irrnxé, 1 =« X d, i—n X d", i=« X d"". . . . , après avoir retranché 1 des deux membres de la seconde , 2 des deux membres de la troisième, 3 des deux membres de la quatrième, et ainsi de suite : or, après avoir divisé de part et d’autre par n , on conclura d—d=zd'—d", etc. Ainsi la différence étant toujours la même d’une progression à la suivante , et le dernier terme de l’une étant le premier de celle qui la suit, la première proposition est prouvée.

Pour démontrer la seconde, conservons «=10000001, et soient f", le facteur constant et inconnu, des

progressions géométriques de 1 à 10, de 10 à roo, de. 100 k 1000 , etc. ; on aura , d’après la notation des puissances convenue (92), et d’après la propriété (118, 2. 0 ) , 10=1 x/", ioo’=iox/'“, 1 006=1 00 x/ ,,n »

1 0000=1 000 x/ wn

Divisant, à partir de la seconde, les deux membres par 10, par ioo, par 1000, etc., on trouvera

égalités qui montrent que les facteurs f, f, f", f"

sont égaux , etqu’ainsi ces progressions individuelles ayant nu terme commun qui est le dernier de l'ane et le premier de l’autre , et le même facteur , font une seule progression.

Ainsi les termes de ces deux nouvelles progressions , l’une arithmétique et l’autre géométrique , étantenmêine nombre , pourront se correspondre , et ceux de la première seront, suivant la définition, les logarithmes des termes de même rang de la seconde.

(124) Si maintenant on écrit dans une colonne intitulée nombres , la série des nombres naturels pris dans la progression géométrique, etdaus une seconde colonne intitulée logarithmes , les termes correspoudans de la progression arithmétique, lesquels sont les logarithmes des nombres naturels, chaque logarithme étant en regard du nombre correspondant, on aura une première idée du dispositif des tables ordinaires de logarithmes. Ainsi un nombre étant donné, on pourra trouver son logarithme, et réciproquement, du logarithme donné , on repassera aunombre correspondant.

( 125 ) Les logarithmee dos nombres autres que los puissances exactes de 10, sont, ainsi que nous l’avons déjà observé (122) , composés d’une partie entière et d’une fraction qui est décimale: la partie entière s’appelle caractéristique, et on sait (122) que le nombre de ses unités augmenté d’une unité, est égal au nombre des chiffres du nombre entier correspondant : ainsi, à la seule inspection de la caractéristique du logarithme 2 , 170762 , laquelle est 2 , on apprend que le nombre correspondant est compris entre 100 et 1000, ou qu’il a trois chiffres dans la partie entière. Il est essentiel d’observer que, quoique le nombre 237,148 ait six chiffres, néanmoins par cela seul qu’il est compris entre 100 et 1000, son logarithme tombe entre 2 et 3 j il est plus grand que 2 et plus petit que 3 ,