CHAPITRE XI

et conséquemment il est composé d’une partie entière a et d’une fraction décimale.

Ainsi , lorsqu'un, nombre est décimal , la caractéristique de son logarithme ne fait connaître que le nombre des chiffres dont se compose la partie entière de ce nombre.

(126) Ou n’a pas consigné la caractéristique dans les tables qui ne contiennent que la partie décimale de chaque logarithme : car , ou le nombre est donné , et on en conclut la caractéristique ; ou le logarithme et conséquemment sa caractéristique sont connus , et alors la partie décimale du logarithme fait découvrir tous les chiffres du nombre, puis sa caractéristique fait trouver la place de la virgule, lorsque le nombre correspondant est décimal : au reste nous reviendrons bientôt sur ces questions.

(127) En substituant les logarithmes aux nombres dans le calcul , les opérations de la multiplication , division , formation de puissances et extraction de racines de ces nombres, se trouvent changées en opérations d’addition , de soustraction , multiplication et division de leurs logarithmes : mais cette heureuse métamorphose est fondée sur quelques propriétés que nous allons faire connaître.

Soient , à cet effet , les deux progressions

o . 4 • 8 . 12 . 16 . 20 . 24 . 28 . 32 , etc.

•j-j x : 3 : 9 : 27 : 81 : 243 : 729 : 2187 : 656 i , etc. qui ne sont astreintes qu’à la seule condition de commencer la première par o et la seconde par l’unité, afin que zéro soit le logarithme de l’unité, avantage qu’on appréciera bientôt. Dans la première, un terme quelconque est un multiple de la différence constante 4» égal au nombre des termes qui précèdent celui-là (n4); et , dans la seconde , un terme quelconque est le facteur constant 3 élevé à une puissance ou à un exposant égal au nombi’e des termes qui le précèdent (117) î or , d’après la correspondance des termes des deux pro-

ai2

ARITHMÉTIQUE, gressions , le multiple de la différence , qui est nn terme de la progression arithmétique, est égal à la puissance du facteur qui est leterme de même rang de la progression géométrique : par exemple , le terme 28 de la première suite, est le multiple 7 de la différence 4» et le terme correspondant 2187 de la suite inférieure , est la puissance septième du facteur constant 3 , c’est-à-dire , ( 3 ) 7 .

Donc , le tenue de la progression arithmétique , qui est un certain multiple de la différence , et le terme de la progression géométrique , qui est une puissance du facteur constant , égale h ce multiple , seront toujours correspondons ou de /nénie rang dans les deux suites.

Considérons maintenant deux termes quelconques de la progression géométrique, et les deux correspondans de la progression arithmétique : dans le produit des deux premiers termes , le facteur constant sera facteur autant de fois qu’il l’est en somme dans les deux termes multipliés : et dans la somme des deux correspondans de l’antre suite , le mnltiple de la différence sera égal à la somme des multiples de cette même différence dans les termes ajoutés. Donc la somme des deux termes de la progression arithmétique, répondra au produit des deux termes de même rang dans la^ progression géométrique. Par exemple , en ajoutant les deux termes 8 et 24 de la suite arithmétique , lesquels répondent à g et 729 de la suite géométrique, on a pour somme 3 a qui répond à 656 i produit de 9 par 729.

On déduit de là cette propriété importante : en ajoutant les logarithmes de deux nombres , on a le logarithme de leur produit; ou , en d’autres termes , le logarithme du produit est la somme des logarithmes des facteurs.

Ainsi, pour faire une multiplication par logarithmes, on ajoutera le logarithme du multiplicande avec celui du multiplicateur, et cherchant cette somme de logarithmes dans les tables et dans la colonne intitulée logarithmes, on trouvera en regard et dans la colonne des nombres , le produit en question,