CHAPITRE XII. 2 i<j

anthmélie/ue et leurs indices respectifs , trouver « quel indice répond le ternie o de la progression ?

Supposons, par exemple,

qu’aux indices 5 14

répondent 65 20

il s’agit de trouver l’indice du ternie o de la progression : si on connaissait la différence constante de la progression , on saurait combien de fois on doit la retrancher de 20 pour avoir zéro , et on conclurait qu’il faut ajouter autant de fois l’unité à 14 pour avoir l’indice cherché , puisque le terme zéro est h la droite de 20. On a vu plus haut qu’en désignant par y la différence cherchée, on a

or, en divisant 20 par 5 , on a pour quotient 4 qui * n " dique que de 20 il faut retrancher 4 fois cette différence 5 pour avoir le terme zéro : l’indice cherché est donc 14 + 4 = 18. On a donc divisé 20 par 5 ou par

—, =■, ce qui revient 03 ) à — ^ -, et au ré-

sultat 4 on a ajouté 14, en sorte que l’indice cherché est

donné par le système d’opérations

multipliant 20 par 14 , puis 20 par 5 , et retranchant le second produit du premier , on trouve

si maintenant on réduit 14 au dénominateur 65 — 20, ce qui se fait en multipliant 14 par 65 , puis 14 par 20, et retranchant le second produit du premier, on aura, en observant que les deux fractions ont même dénominateur ,

* 3 o ARITHMÉTIQUE,

çr, 20 X i4 — 14 X 20 = 0 ; donc cette fraction reTÎent ù i4 x 65 — 20 + 5 65 — 20

En répétant le même raisonnement snr denx autres nombres quelconques que nous désignerons par a et A , auxquels répondent respectivement les indices A et A , savoir, l’indice A au nombre a, et l’indice A au nombre A, et supposant que x soit l’indice qui répond au terme o de la progression arithmétique, on sera conduit à

le nombre et étant plus grand que A , et l’indice A plus petit que A , hypothèses conformes à celles que nous avons faites dans l’exemple précédent.

On est donc conduit à cette règle : multipliez chacun des deux termes par l’indice de l'autre ; retranchez le plus petit produit du plus grand , et divisez celte différence par le plus grand terme moins le plus petit : le quotient de celte division sera l’indice auquel répond le terme zéro.

Il ne faut pas oublier que cette règle suppose la progression décroissante , le plus petit indice répondant au plus grand terme, le plus grand indice au plus petit, et les deux termes donnés étant positifs ou absolus.

Souvent et même dans le plus grand nombre de cas, la règle donnera un indice fractionnaire : d’où il faudra conclure que le terme zéro n’est pas un de ceux de la progression. Par exemple, la progression étant telle qu’aux

indices . , . . . g 16

répondent . . . » . 47 • • » • * *9 i

on aura , d’après la règle ,

mais en divisant la différence 47 — ig = 28par 16 — 9 — 7, PU trouve la différence constante 4 * On voit donc qu’aux indices 16 17 18 ig 20 21 , etc.

répondent 19 i 5 u 7 3 — 1 , etc.