CHAPITRE XII. a3i

et qn’ainsi le terme ode la suite inférieure, compris entre 3 et — i , est aux trois quarts de la distance entre les termes

3 et — i , puisque son indice 20 — est aux trois quarts de la distance de 20 à 21.

Parcourons les diffe'rens cas qui paraissent échapper A la règle ci-dessus. Supposons qu’aux

indices 26 . 78

répondent 35 — 3 o,

le second terme 3o étant soustractif : l’application de la règle donnerait pour l’indice du terme qui répond au zéro de la progression arithmétique ,

or, 35 X 78= 2730; d’autre part le produit ( — 3ox 26) est — 780, en observant qu’un nombre soustractif répété un certain nombre de fois, donne un produit aussi soustractif, et le même quant au nombre de ses unités que celui de 3o x 26 dans cet exemple : il faut maintenant retrancher — 780 de 2780 : le résultat est 2730 780

= 35io(*) : de même 35 — ( — 3o)=35q-3o=:65 : la division de 35io par 65 donne le quotient 54 , indice du terme o de la progression arithmétique. En effet, on trouvera fa-

cilement que la différence constante est — — : d’ailleurs,

l’indice du terme o étant 54, ce terme , par rapport au pre-

(*) C’est ce qu’on peut démontrer en partant d’une propriété connue , savoir, que le reste d’une soustraction, ajouté au nombre soustrait , doit donner pour somme le nombre dont on soustrait. Supposons donc qu’on ait

de 7

à ôter — 3

reste =r 7 -J- 3

et , en eflèt , 7 -f- 3 — 3 = 7, parce que le même nombre 3 est ajouté et soustrait. On voit donc que soustraire — 3 de 7 revient à ajouter 3 à 7 , raisonnement qui s'applique à tous les cas analogues.

23a ARITHMÉTIQUE,

«nier, est du rang 54 — 26 =: 28 : or, la différence constante — prise 28 fois, est — 35 qui ajouté au premier

terme 35 , doune o. .

Supposons, en second lieu, qu’aux indices 6 7 8 g 10 ït

répondent ■ — 20 — 16 — 12 -^-8 — 4 0

la différence constante additive étant 4, et supposons de plus qu’étant donnés les nombres — 20 , — 12 auxquels répondent les indices 6 et 8, on demande l’indice du terme o qu’on sait être u : l’application de la règle donne

JC '■ —

or, — 20x8 = — 160 ; — 12X6 — —72; — 160 — ( — 72) — — 160-4-72 = 72 — 160 — — 88 ( notes yrécéd .) : le dénominateur — 20 — ( — 12) = — 204-12 = 12 — 20 = — 8. Ainsi

or, on démontre, en algèbre, que ce quotient o

est le même que celui de -g- = n (*) qui est , en effet , l’indice du terme zéro.

La règle a été déduite de la considération d’une progression arithmétique décroissante : nous en supposerons une croissante et telle qu’aux

indices 6 7 8 g. . . .

répondent ... 8 10 12 14. . • •

ponr avoir l'indice x du terme o , au moyen des termes 8 et 14 et de leurs indices 6 et g, on posera , d’après la règle , 8x<i — r4x6 — 12 1 2

* — 8^4 — ZZg" — ir

(*) Il semble d’ailleurs qu’il n’y ait aucune difficulté à Concevoir que Je nombre soustractif — 88, contient le nombre soustractif — 8 , exactement comme le nombre absolu 88. contient lu nombre absolu 8.