CHAPITRE XII

EnSn , et pour dernier cas, qu’aux

indices 3 4

répondent. . . 10 12

l’indice x du ternie zéro , sera donné par

iox4 — «2X3 4° — 36 4

ee quotient — j- n’est autre chose que le quotient , pris

soustractivement , proposition démontrée ( Alg. ) (*) : ainsi l’indice cherché est — 2 , ce dont on s’assurera eu prolongeant vers la gauche la progression des nombres, par la soustraction continuelle de 2, et celle des indices, par la soustraction continuelle d’une unité.

Règle de fausse position.

ha règle dé faussé position est une méthode ingénieuse au moyen de laquelle on résout , sans employer le calcul littéral , les problèmes déterminés à une seule inconnue, et plus particulièrement ceux qui n’admettent qu’une solution et qu’on nomme du premier degré; parce que l’inconnue n’y est élevée qu’à la première puissance. Ces sortes de questions rentrent dans cet énoncé général : trouver un nombre tel que si on le multiplie par un nombre donné a, et qu'on augmente ou qu’on diminue ce produit , d’un nombre donné b , la somme ou la différence soit égale à zéro. En traduisant les deux cas de cet énoncé, on est conduit aux deux équations

(1) ax b =. o ; ax — b — o , ... . (2)

(*) Ayant reconnu précédemment ( note ) que le quotient do — - est a , c’est-à-dire , le même que celui de — - , il parait naturel de con-

clure que celui de — * ainsi que de — ^ ne devant düiîiier du précédent que par le signe , doit être — a.

a34 ARITHMÉTIQUE,

où l'inconnue x qui est la représentation d’un nombre à de'eouvrir, n’est qu’à la première puissance. On appelle valeur de l’inconnue ou racine de l’éqüation, le nombre qu’il faut substituer pour x , à l’effet d’obtenir un résultat zéro, c’est-à-dire, à l’effet de satisfaire à l’équation ou à la condition énoncée entre x et les nombres connus a et b. Soient, par exemple, a — 2, b = 6 dans l’équation (2): elle se changera dans la suivante

2 x — 6 = 0, d’où x — 3 = o, en divisant chacun des membres par 2, et observant que le quotient du second membre par 2 , est encore zéro: la valeur de x est 3 , et en effet 3 — 3 = o. Pour avoir celle de x dans l’équation (a) , on ajoutera b de part et d’autre , ce qui donnera

ax — b , d’où x — — , a

apres avoir divisé de part et d’autre par a. En effet , par cette valeur de r, le premier membre de (2) devient

Supposons maintenant qu’on donne à x dans le premier membre de l’cquation (2), une suite de valeurs en progression aritbine'lique , qui soient, par exemple,

les valeurs correspondantes du premier membre ax — A, savoir

formeront une pro . ression arithmétique croissante ayant a pour différence cons'ante, et pour indices les valeurs attribuées à x. On a donc déjà celte conclusion remarquable. Lorsqu’une question est du premier degré , les résultats qu’on obtient , en altril liant à l'inconnue des valeurs en progression arithmétique , forment eux-mêmes ■ une progression arithmétique ; et ré< iproquement , lorsque cette circonstance a lieu y la question est du premier degré, 11 ré-

suite de là que le terme o de la progression arithmétique des résultats , a pour indice la véritable valeur de l’inconnue. On est donc conduit à cette règle pour découvrir la valeur de l’inconnue dans les questions du premier degré : supposez à i inconnue deux valeurs quelconques , c'est-à-dire , prises au hasard , et que nous désignerons par h et k , et notez les résultats correspondons par m et n multipliez , comme on l'a prescrit plus liant, le premier résultat m par la seconde hypothèse k , et le second résultat n par la première hypothèse h ; puis divisez la différence des produits , savoir, m X k — n X h par la dffér nce des résultats m — n : le quotient sera la vraie valeur de l'inconnue.

A l’avenir , nous appellerons fausses positions les hypothèses faites sur x , pour les distinguer de la vraie valeur de x , et nous nommerons erreurs les résultats correspondans , parce que le véritable résultat , celui qui est dû à la vraie valeur , devant être zéro , il s’en faut de tout le résultat obtenu qu’on soit tombé sur zéro.

Ou devra d’abord faire quelques fausses suppositions successives , afin déjuger, d’après la marche des erreurs, si la question est du premier degré.

Lors même que la question est d’un degré supérieur au premier, si ayant déjà découvert d’une manière quelconque une valeur assez approchée de l’inconnue , ce qu’on peut toujours faire, au moins par le tâtonnement au défaut des méthodes qui seront exposées dans la suite de ce cours, on suppose à cette inconnue une seconde valeur qui diffère très-peu de la première, on pourra appliquer « ces deux fausses positions et aux erreurs correspondantes, la règle ci-dessus qui fera connaître une troisième valeur de l’inconnue, beaucoup plus approchée que chacune des deux précédentes, et l’erreur correspondante: on prendra de nouveau une valeur très-approchée de cette derrière, et on calculera l’erreur. Appliquant de nouveau la. f'jègle en question , on déduira de ces données une nouvelle

valeur plus approchée de la véritable que chacune des precedentes, et ainsi de suite. ( Alg . I. rc Sect. XXXII) i. rc Question. JJ n pire est âge de 5 o ans, le fils en a 12.on demande dans combien d'années , à partir d'aujourd'hui , 1 *8* «u pere sera triple de celui du fils P

C’est sur le nombre inconnu d’années que doivent porter les suppositions. Dans ce moment, ou après o ans, e rip e e 1 <;ge du fils est 3 G ans; l’âge du père est 5 o, \ s en faut donc de 14 ans que l’âge du père soit triple e celui du fils, ou que l’âge du père moins le triple de celui du fils, soit o : l’erreur est ,4. Dans un an ,le bis aura 10 ans dont le triple est 3 9 ; le père aura 5i ans;

erreur sera 12 ans. En multipliant ces fausses positions, on s assurerait que les erreurs croissent en progression arithmétique. Ainsi aux

indices . . . . o

répondent .... 4 ia

et, d’après la règle,

En effet, dans 7 ans, le fils aura 19 ans, dont le triple est 57 aus; et le père en aura pareillement 57.

. 2 ‘ Question. En Jaisant l aumône à plusieurs pauvres et onnant ^ à chacun , on a 9* de reste ; mais si on ne donne u chaque pauvre que 2- , on a 1 V de reste : on demande combien on a de sous et combien il y a de pauvres P

n peut prendre pour inconnue le nombre de pauvres, et sa valeur fera connaître celui des 'sols. Or, suivant 1 énoncé, le nombre des sols doit être en même temps égal à trois fois le nombre des pauvres plus 9 sols , et h deux fois le nombre des pauvres plus i2 s ; donc si l’on suppose o pauvres, ont aura en même temps 9 1 et 12“ : il s en faut t.onc de 3 S que le nombre des sols soit le meme; erreur = 3 . Si l’on suppose 1 pauvre, on aura en même temps 12’ et 14*; erreur = a*. On s’assurera