CHAPITRE XII. ü
que les erreurs forment une progression arithmétique décroissante. Ainsi puisqu’aux
indices o i
répondent 3 2
on a donc , d’après la règle ,
En effet , le nombre des pauvres étant 3 , on aura , comme l’exige l’énoncé, 3 X 3 ‘+g = 3X2*4- 12* = 18*. On aurait pu , dans cet exemple, et dans le précédent, faire deux fausses positions consécutives quelconques.
3 .* Question. On propose de partager le nombre lp] en deux parties telles qu'en divisant la plus petite par 3 , et la plus grande par 5 , les deux quotient fassent ensemble 1 1 .
Prenant o pour la plus petite des deux parties, la plus grande sera 47 : *1 en résultera les deux quotieus o
et
il s’en faut de
^ oude-j-r que la somme de ces
deux quotiens soit 11. Soit maintenant 1 la plus petite des deux parties , la plus grande sera 46 , et ou aura les deux
quotiens — et dont la somme— ne fait pas 11; l’er-
rcur est de-^. Ainsi aux i5
indices . . . . o
répondent . . .
on aura donc
le plus .petit des deux nombres étant 12 , le plus grand
sera 35 : les. quotiens seront -77- et c’est-à-dire, 4 et 7 . o o
dont la somme est effectivement 11. *»
4 .* Question. On a loin’ un ouvrier paresseux à ratsori de 45* par chaque jour qu'il travaillerait ; mais à condition, de lui retenir 12 ' par chaque jour qu’il ne travaillerait pas : on lui fait son compte au bout de 3o jours, et il arrive qu’on ne lui doit que 39*. On demande combien de jouis il a travaillé ?
Supposons que l’ouvrier ait travaillé pendant o jours , et qu’aiusi il ait été 3o jours oisif: il lui revient o‘ pour les o jours de travail , et il doit au contraire 36o“ pouf les 3o jours d’oisiveté ; de sorte que le gain de l’ouvrier serait une dette de 3Go' que ‘nous noterons par — 36o‘ (*): mais il lui revient effectivement 39*; la différence entre ces deux résultats , est donc — 36o — 89— — 399, erreur due à l’hypothèse. Que l’ouvrier ait travaillé pendant 1 jour, et qu’ainsi il ait été oisif pendant 29 jours: pour ce jour, il recevra 4^’ ; mais pour les 29 autres jours, il devra donner 348* : sa situation sera donc 4 3 * — 348* = — 3o3* ; or, elle est réellement 3g*; l’erreur ou la différence est donc — 3o3* — 3g‘=z: — 342. Ainsi aui
indices o » . 1
répondent .... — 3gg ...... — 34*
et, d’après la règle’, le nombre des jours de travail, est
x — — 3ç)9 xi — ( — 342 X o )
— ^gg — ( — 342 )
(*) Par opposition aux Liens représentés par des nombres absolus, le* dettes deviennent des nombres soustractifs , puisque leur effet est de diminuer les biens : ainsi , par exemple, la fortune réelle d’un homme qui possède 3o f et qui doit I2 f , est 3of — iî»f ~ i8 f : si la personne n’a que 4 r et qu’elle en doive 12 , elle est en dette de 8f, ce qu’on note par —
— l\t — ia f : enfin si, ne possédant rien, elle doit 8 r , sa fortune est de moins 8 r , ce qit’ori note par — 8 r , état qu’on exprime vulgairement en disant qu'il s’en faut de 8 f qu’elle ait un sou.
d’après une note précédente : donc x—'j jours. En effet, pour 7 jours de travail, l’ouvrier a reçu 3 i 5 '; pour 23 jours d’oisiveté, il a subi une retenue de 276'; il 11’a donc réellement reçu que 3 i 5 * — 276‘=3g«.
On aurait évité quelques difficultés, en faisant des hypothèses autres que o et 1 , par exemple , en supposant x = 12*, = i 3 *. On trouve facilement que la première hypothèse donne pour erreur 324’ — 3 g 5 = 285*, et que l’erreur due à la seconde , est 38 1* — 3 g s = 342 : en sorte qu’aux
indices 12 i 3
répondent 285 342 ;
d’où résulte
285 x i 3 — 342 x 12 — 3 gg 3 gg
comme ci-dessus.
5 .* Question. On a fait partir de Dreux pour Brest , un courier qui fait 8 kilomètres par heure: huit heures après son départ , on en a fait partir un autre de Paris pour Brest , et celui-ci parcourt 1 2 kilomètres par heure. On demande où ce second courier rencontrera le premier , sachant d’ailleurs qu’il y a 68 kilomètres de Paris h Dreux?
Nous appellerons premier courier celui qui part de Dreux, ville intermédiaire entre Paris et Brest, et conséquemment second courier, celui qui part de Paris. Nous prendons pour inconnue x , la distance de Paris au point de rencontre des deux couriers, lequel se trouve entre Dreux et Brest. Supposons 1=0: il est clair qu’à cette distance de Paris, les deux couriers ne pourront se rencontrer , puisque l’un d’eux , le second , est encore
(*) Le kilomètre est une mesure itinéraire dans le nouveau système métrique français. Pour mieux suivre le raisonnement, on pourra tracer une droite sur laquelle on désignera par les lettres P, D , B et R Paris, Dreux , Brest, et le point de rencontre, eu plaçant P et B aux extrémités, D entre P et B, et II entre D et B,
à Paris , et que le premier en est à une distance qui se compose de celle de Paris à Dreux, qui est 68 kil. , plus du chemin qu’a fait ce premier courier, à raison de 8 kil. par heure, pendant les 8 heures dont son départ précède celui du second courier , chemin qui est de 64 kil. Ainsi, les deux couriers , au lieu de se rencontrer, sont à une distance l’un de l'autre de 68 kil. + 64 kil. = i3a kil. , première erreur. Soit, en second heu, x = 1 kil. , ce qui revient à supposer que le second courier est h un kil. de Paris, où il est évidemment impossible qu’il rencontre le premier courier. Calculons la distance qui les sépare alors et qui sera la seconde erreur. Cette distancç se compose i.° de l’intervalle i3a kil. — 1 kil. = i3i kil., plus le chemin fait par le premier courier pendant le temps qu’a mis le second courier à parcourir 1 kil. or, en désignant ce chemin par y , il est clair que y kil. et 1 kil. ,• chemins faits pendant le même temps par le premier et le second courier, seront entr’eux comme 8 kil. et 12 kil., chemins faits par les mêmes couriers en 1 heure ; en sorte qu’on aura la proportion
ainsi la distance cherchée est i3i + J seconde erreur: conséquemment aux
indices o ...... 1
répondent i3a. .... i3i + §
Ainsi, la distance cherchée sera, d’après la règle,
3 9 6 X » - 3ç,5 x o M = 3 q 6 kil.
Il s’agit de vérifier ce résultat. Au moment où le second courier part, le premier courier est a une distance de Paris égale à 68+64 kil. = i3a kil. : ainsi, le second courier devant parcourir 3g6 kil. , pendant que le premier en parcourt 3g6 — i3x = 264 kil. , il
