CHAPITRE XII

ment qui doit être fait à la fin de la troisième année,

n’étant pas déplacé, ne change pas, c’est-à-dire, qu’il

reste : la somme des trois paiemens ainsi ramenés a

n’être effectués qu’à la fin de la troisième année, est donc 121 110 100 33 i ,

1 (- = du premier paiement :

mais celte somme doit acquitter les ^ C — — dus à la

même époque: donc les du premier paiement font

± 4 - < i r ’.— ; d’où il résulte que 33 i fois le premier paie-

ment, fera 44 ° 56 i f , et que le premier paiement vaudra

i 33 i f , paiement annuel. En effet, l’argent

étant à 10 pour 100, ou, en d’autres termes, l’intérêt étant le dixième du capital , on doit à la fin de la première année, le capital 33 io f plus son intérêt 33 c’està-dire, 364 i f : on rembourse i 33 i f , on redoit donc 23 io f au commencement de la seconde, année : l’intérêt de cette somme , pendant la seconde année , étant a 3 i f , on doit à la fin de la seconde année 2.S4 1 r i mais ou rembourse i 33 i f , on ne doit donc plus que i2iof au commencement de la troisième année, lesquels joints à l’intérêt i2if pendant celte année , font 1 33 1 fraucs , dernier paiement qui est, en effet, le paiement annuel.

3 .' Question. Ayant placé un capital à fi pour § d’intérêt par an , et à intérêts composés , on veut chercher les nombres d'années au bout desquelles le capital sera devenu double, triple , quadruple de ce qu'il était primitivement ?

Exprimons le capital par i , et cherchons les états successifs de ce capital à la fin de la première année , ou au commencement de la seconde, à la fin de la seconde ou au commencement de la troisième , etc. D’après

le taux de l’intérêt, le capital sera devenu à la fïn de

la première année ,

= 1,06 ; ce capital , h

la fin de la

seconde année, sera 1,06 x 1,06 = ( 1,06)*: d’où on conclut facilement qu’après un nombre quelconque d’années il sera 1,06 élevé à une puissance marquée par le nombre d’années. Si donc ou désigne par c ce qu’est devenu le capital i franc , après un nombre n d’années , on aura(^ng. 170).

l’exposant n étant le nombre inconnu : or, on a vu (png. 2i3), que le logarithme d’une puissance quelconque d'un nombre , est égal au logarithme de ce nombre , multiplié par l’indice de la puissance; ainsi

log. c = n X log. (1,06):

. Il s’agit donc de déduire de cette égalité, les valeurs de h qui t répondent anx capitaux c = 2 , c 3 , c =: 4 » etc. Or ; pour c =. 2 , l’égalité précédente devient log. 2 = n X log. ( 1,06 ) mais log. 2 = o,3oio3, log. 1,06 = o,0253i , donc o,3oio3 = o,0253i x n et conséquemment ,

o,3oio3 3oio3

n — — = — T -. — = n,8q5 ans.

Pour c =3 dont le logarithme est 0,47712, on aurait

= l8,854 3BS.

o,o25oi 253 1

Pour c — 4 dont le logarithme est 0,60206, on aurait

o,oa53 1 et ainsi de suite.

= 23,791 ans ,