C II A P I T R E X IV

En procédant toujours de droite vers gauche , on empruntera ip° qui vaut i2li ou n 1 * -f- il* ou il 1 * 4- i2P* ; or, iaP* 4- iP' font i 3 p* , d’où rctrancliant 5 p* , il reste 8p* : de n 1 * retranchant a 1 *, il reste 9 1 * : de Spo il faut retrancher iop° ; à cet eftét , on empruntera 1 p* = i2P°qui ajoutés à 8p° donnent aopo , d"où retranchant iop° , il reste i2r° : pour opérer la soustraction des pieds ou empruntera i l qui vaut Cp* qui ajoutés à 2 pi donnent 8?* , d’où retranchant 5 pi , il reste 3 p* : enfin , de 53 ‘ ôtant ai* , il reste 3 a 1 .

On remarquera que l’emprunt d’une seule unité rend toujours la soustraction possible.

Les preuves ne ces deux opérations se font exactement de la même manière que dans le cas où les nombres sont incomplexcs.

Passons à la multiplication.

1." Exemple. A 28 1 18“ la toise d’ouvrage , combien coûteront 54 ' ?

Puisqu’une toise coûte 28* 18' , suivant l’énoncé , les 54 * coûteront 54 fois 28 1 18' : ainsi le multiplicateur sera un nombre abstrait , et le produit comptera des livres et sous-divisions de la livre , comme l’exige l’énoncé. Après avoir répété 54 fois 28' ce qui donne i 5 ia l , il faudra prendre 54 fois r8» : à cet cflèt, on dira: si pour i 1 répétée 54 fois, on a 54 1 , pour 10* on aura 27 1 , pour 5 * on aura la moitié de 27' , c’cstà-dirc, i 3 ' 10*, pour 2’ on aura le cinquième de ce qu’on a eu pour io* , c’est-à-dire , 5 1 8* , et conséquemment pour 1“ on aura 2 1 i 4 “. En sorte que pour 10“ 4- 5 * 4- a* 4- 1* , ou pour i8 s répétés 54 fois,on a 27 1 plus i 3 ' 10» plus 5 ' 8* plus a 1 i 4 * , ce qui fait 48 1 12* à ajouter à 1512 1 : le produit cherché est donc i 56 o' 1a 5 . Le principe de ce calcul consiste dans la décomposition des 18* , d’abord en une fraction exacte de la livre, puis en sous-divisions exactes de celle-ci, ou les unes des autres ; ces fractions ou sous-divisions exactes sont encore dites parties aliquotes. On voit ici le dispositif de l'opération :

na

i 56 o> .... ia“

Si outre les sous, on avait des deniers, 10* par exemple, on décomposerait io* en parties aliquotes d’un sou , savoir , «n fi 11 H- ai 4- a* :

pour 10»

pour 62 on prendrait | du produit pour i a ; pour 2* on prendrait I du

produit pour 62 qu’on répéterait une seconde fois : on aurait ainsi trois

nouveaux produits partiels à ajouter à 15G0 1 i2«.

A l’égard du produit pour 2» qui se rencontre souvent , nous indiquerons une abréviation de calcul : qu’il s’agisse de répéter 246 fois 2* , l’opération revient à prendre 246 fois JL de la livre , ce qui donne 34>,6 = 241 i2‘, en observant que le dixième d’une livre vaut 2". Donc pour multiplier v par un nombre quelconque , il faut écrire au rang des livres tous les chiffres du nombre , d l’exception du dernier à droite dont on comptera le double en sous : d’où il suit encore que pour multiplier i* par 257, par exemple, il faut prendre la moitié de 25 qui est 12 , compter 13 en livres , et le reste 17 en sous.

2. c Exemple. Pour i* on a fait faire 35 * 5 pi 8p® d'ouvrage ,

combien fera-t-on Jarre du même ouvrage pour i 54 * «**

Il est clair que, pour lôq 1 on fera faire i 54 fois 35 * 5 p' 8po • ainsi le multiplicateur sera le nombre abstrait i54 , et le produit de la nature du multiplicande , comptera ries toises et sous-divisions de la toise* On voit ici l’opération :

35 > 5 p> 8po

pour 3 pi 77

2P‘ Si . . . 3pi

8 po 17. . .0 ... 8po

553 A . . . ap» . . . 8p®

Après avoir décomposé 5P' en 3 p> - 1 - 2 P> , on observe que 3 pî étant la moitié de la toise, on doit avoir pour 3 p* la moitié de ce qu’on aurait pour 1* , c’est-à-dire , la moitié de i54* , ou 77* ; que ap* étant le tiers de la toise, ou doit prendre le tiers de i 54 * qui est 5 i’ 2P* ; qu’enfin 8p» étant le tiers (1e sp* 24 f° , ou doit prendre le tiers de Si* api, qui est 17* cT* 8p®. Dans cet exemple, api n’est pas une partie aliquotc de 3 p> , mais de la toise ; ainsi il est indifférent que les sous-divisions soient des parties aliquotes les unes des autres ou de l’unité principale.

3 . c Exemple. A raison d’une certaine somme pour 371b i*n o° t\l o 2 8 s 1 ’ d’une marchandise , on demande combien on aura de livres j marcs , etc. pour 96 fois cette somme ?