CHAPITRE III. a

on donne la somme 3 gg 86 , et l’an des deux nombres ajoutés; par exemple, le nombre i 6834 , et qu’il s’agisse de découvrir, d’après ces données, le nombre 2';') 132. La question se réduit évidemment à trouver les unités , dixaiues, centaines etc. du nombre inconnu, qu’il a fallu ajouter aux unités des mêmes ordres de i 6834 pour avoir celles de la somme, ce qui revient en d’autres termes, à chercher l’excès des unités , puis des dixaiues, puis des centaines, etc. de la somme, sur les uuités , dixaiues, centaines, etc. , de l’autre nombre donné. Pour pratiquer plus commodément l’opération , on placera la somme donnée , et audessous l’autre nombre connu , de mauière que les unité* des mêmes ordres se correspondent verticalement, puis après avoir tiré un trait horizontal, comme ou le voit dans le dispositif ci-dessous ,

On dira l’excès de 6 sur 4 est 2 ; l’excès de 8 sur 3 est 5 ; celui de 9 sur 8 est 1 ; de 9 sur G est 3 , et enfin de

3 sur x est 2 : mais comme l’excès d’un chiffre sur un plus petit n’est autre chose que le reste qu’on obtient, en ôtant le plus petit du plus grand , on pourra dire :

4 ôté de 6, il reste 1; puis 3 ôté de 8, il reste 4 > et ainsi de suite. Il est clair d’ailleurs que , dans ces soustractions partielles , on peut toujours considérer les deux chiffres sur lesquels on opère,- comme ne comptant que des unités du premier ordre, parce qu’en effet 8 centaines ôtées de 9 centaines , par exemple , laissent autant de centaines que 8 unités ôtées de 9 laissent d’unités.

Il peut arriver que quelques-uns des chiffres du nombre à retrancher , comptent plus d’unités que leurs correspondans dans le nombre duquel on retranche, couin on le voit dans l’exemple suivant :

de 37 526

ôter .... 16 394

Cependant la soustraction est possible , puisque lenomhre à retrancher est le plus petit: on dira 4 de 6, reste 2 ; de a tlixaines, an ne peut ôter g dizaines; mais on observera que la somme de deux, chillrcs ne pouvant être moindre que l’un de ces chiffres , le chiffre 2 ne peut être qu’une partie de la somme due à l’addition de g et du chiffre inconnu ; d’une autre part, la somme des deux plus grands chiffres g plus g, ne donnant que la retenue i celle de g dixaines plus les dixaines inconnues , n’a pu fournir que la xeteuue r centaine qui est dans 5 centaines ( * ) : reprenant cette centaine qui vaut dix dixaines et les ajoutaut à deux dixaines, on aura la somme 12 dixaines dont l’excès sur g est 3 dixaines. Le chiffre 5 ne doit plus être compté que pour 4, à cause de la distraction de la centaine ; si de 4 centaines ou ôte 3 centaines, il reste 1 centaine : 6 mille ôte's de 7 mille, il reste 1 mille; et enfin 1 dixaiue de mille ôtée de 3, reste 2 dixaines de mille. On voit ici l’opération effectuée : de. ... . 37 526

ôtez 16 3g4

reste. ... 21 102.

Soit, eu troisième lieu, à effectuer la soustraction suivante : ,

de. . . 200 4°4 ôtez. . . 1 4 5 7.Z1.

( * ) Lorsque , dans l'addition de deux nombres , on fait les additions partielles de deux chiffres , il peut arriver que la somme n’ait qu’uu seul chiffre , ou qu’elle en ait deux : dans le premier cas , le chiffre de la somme est évidemment plus grand que chacun des chiffres qu’ou ajoute ; dans le second , comme la retenue ou l’excédant de la somme sur 10 , s’ajoute à la coloune à gauche , le chiffre qu’on pose est moindre que la somme des deux chiffres ajoutés. Les deux plus grands chiffres dont la somme n’est que d’un chiffre , sont 5 et !\ ; au-delà, la soaun» a toujours deux chiffres.

On dira 2 de 4 reste 2 : puis 3 de o ne se peut , mais on s’adressera au chiffre 4 centaines sur lequel 011 reprendra ou on empruntera 1 centaine qui vaut 10 dixaines , les quelles ajoutées à o dixaines font toujours ro dixaines , d’ou soustrayant 3 dixaines , reste 7 dixaines. Les 4 centaines ne doivent plus être comptées que pour 3 , d’où ôtant 2, il reste 1 centaine. De o mille, il faut soustraire 3 mille; comme on ne peut faire d’emprunt sur le chiffre des dixaines de nulle , ou s’adressera à celui des centaines de mille, sur lequel on en prendra 1 qui vaut io dixaines de mille qu’on décomposera en 9 dixaines de mille qu’on voit au-dessus du o correspondant , et en 1 dixainc de mille ou 10 mille qu’on voit au-dessus de o mille. Le reste de la soustraction est donc facile : nous présentons l'opération effectuée.

De . . . 200 4°4 ôtez ... i 43 aSa

reste... 55 172.

Soit encore l’exemple suivant qui donnera lieu ù quelques remarques utiles :

de. . . , 8 o 3 628 ôtez. . . 342 43 d :

r.° 6 de 8 reste 2 ; 2. 0 ù 2 on ajoutera 10, ce qui fera 12, d’où retranchant 3 , reste 9 ; 3 .° de 6 il faut d’abord retrancher l’unité empruntée , puis du reste 5 ôter encore 4 , ce qui fait en totalité 1 + 4 °u 5 à ôter de 6 , le reste est 1 ; 4 -° ôtant 2 de 3 , reste 1 ; 5 .° ôtant 4 de 10 , reste 6; 6.° de 8 il faut ôter l’unité empruntée et du reste 7 ôter 2 , ce qui revient évidemment à retrancher 1+2 ou 3 de 8 , et il reste 5 .

Ainsi, lorsque le chiffre supérieur est moindre quo l’inférieur, on augmente !e premier de dix unités , et parla la soustraction partielle devient possible : en passant J» U soustraction suivante, on tient compte de l’unité em

i8 ARITHMÉTIQUE,

pruntée, en l’ajoutant au chiffre inferieur, et laissant le supérieur tel qu’il est. De cette manière, on porte dans la soustraction les habitudes de l’addition, où, lorsqu’on prononce 10, n. ... 19, on retient une unité qu’ici ou ajoute au chiffre à soustraire.

On peut encore s’assurer, comme il suit, que l’emprunt d’une seule unité rend toujours possible toute soustraction partielle : pour se placer dans le cas le plus défavorable , supposons que le chiffre pour lequel on emprunte soit zéro, et que le chiffre à retrancher soit 9 : comme la seule unité empruntée en vaut 10 de l’ordre du chiffre pour lequel on emprunte , la soustraction devient possible, ce qui arrive, à fortiori , dans tout autre cas.

Qu’on ait

de . . . . 343,697 à ôter. . . 137,785

on opérera comme si les deux nombres étaient entiers , et le reste comptera des décimales de la dénomination commune, c’est-à-dire, des millièmes: d’ailleurs ce que nous avons dit sur les emprunts et les abréviations , est applicable ici, sans restriction et modification.

Preuves de V Addition et de la Soustraction.

(a5) Lorsqu’on a effectué une opération , il faut la vérifier , ou s’assurer si elle est exacte ou uon : cette vérification s’appelle preuve. Commençons par l’addition , et supposons qu’on ait fait celle des nombres 38 462 ; 25 345 ; 98 949, qui a donné 162 786: il est clair que si ou somme dans un ordre quelconque, les unités des différens ordres des trois nombres donnés , et qu’on retranche les sommes partielles des unités correspondantes de la somme trouvée , on devra obtenir o pour résultat final , si cependant l’addition a été bien faite. Ainsi reprenant, pour plus de facilité, l’addition par la gauche et procédant de gauche à droite , on dira :