CHAPITRE IV. 5i

d’an dividende partiel ne pouvant d’ailleurs surpasser celui des chiffres du diviseur que d’une unité , an plus ) , il n’est pas facile , en général , de découvrir le quotient : dans, ce cas ou pourra se borner à diviser les plus hautes unités du dividende par celles du diviseur : le quotient obtenu de cette manière, pourra être trop grand; mais aussi il pourra convenir : en général, cette division abrégée donnera la limite supérieure du quotient. Qu’on ait , par exemple , à diviser nq6par 299: on divisera simplement 11 par 2, ce qui donuera le quotient 5 plus grand d’une unité que le véritable quotient 4 : cette circonstance tient à ce qu’ici le véritable dividende 4 X a ou 8 , est augmenté d’une retenue en centaine, qui est 3 plus grand que le diviseur 1 ; en sorte que 2 est dans 11 une ibis de plus que dans 8: la chose n’arriverait plus dans la division de 2019 par 673, ramenée à celle de 20 par 6 qui donne le quotient 3 , lequel est, en effet , celui de 2019 par 673.

3 .° On reconnaît qu’un quotient est trop grand , lorsque son produit par lé diviseur excède le dividende partiel; dans ce cas , on le diminue successivement d’une nnité, jusqu’à ce qu’il cesse d’être trop grand. Lorsqu’au contraire , on a supposé un quotient trop petit , son produit par le diviseur , soustrait du dividende partiel , donne un reste plus grand que le diviseur; et réciproquement, lorsqu’un Teste excède le diviseur , on en conclut que le quotient partiel qu’on vient de trouver doit être augmenté.

4 *° Comme tout nombre ne peut être composé que des chiffres depuis x jusqu’à 9, il s’ensuit qu’on ne peut poser plus de 9 pour l’un des chiffres du quotient; à moins cependant que le reste de la division précédente n’excède le diviseur , ce qui suppose un quotient trop petit , et alors le quotient suivant, plus grand que 9, fournit une retenue qui s’ajoute à ce quotient précédent et le corrige.

5 .” Lorsqu’un dividende partiel ne contient pas le diviseur , on écrit zéro pour le quotient correspondant.

52 AHiT fl M ÉTIQUE,

G. 0 Supposons qu’on ait à diviser 900000 par 299999 : en divisant 9 par 2, on trouve le quotient 3 ; on dit alors 3 fois 2 l'ont 6 , qui, retranché de 9 , donne le reste 3 : or, de ce que ce reste 3 est égal au quotient 3 supposé, il s’ensuit qu’on peut adopter 3 pour quotient : en effet, ce reste 3 est 3 oo 000 , ou 3 X îoo 000 plus grand que 3 x 99999 * ou que 3 fois le surplus du diviseur. Dans la division

ii 2

après avoir détaché à la gauche dn dividende , le nombre 71484, on dira : 2 fois 3 font 6, qui, ôté de 7, donne le reste 1 à la droite duquel on abaisse i , ce qui fait 11 qui contient 2 fois 5 avec le reste 1 à la droite duquel on écrit 4 , ce qui donne 14 qui contient 2 fois 6 ou 12 avee le reste 2 , ou 200, ou 2 x 100 plus grand que 2 fois 89 : on peut donc , en toute sûreté , poser le quotient 2.

Ainsi , après avoir fait le produit d’un chiffre du diviseur , par le quotient qu'on essaie , et soustrait ce residtat des unités de même ordre du dividende , si le reste est , au moins , égal au quotient supposé , on est assuré que ce quotient convient , et , à plus forte raison , doit-on l’adopter , lorsque le reste est plus grand que le chiffre qu’on essaie.

7. 0 Lorsqu’une division se fait exactement et sans reste, le dividende est l’exact produit du diviseur par le quotient.

8.° Lorsque la division ne se fait pas exactement, ce qui a lieu, lorsque le dividende n’est pas un multiple du diviseur, le reste final est l’excès du dividende sur l’exact produit du diviseur par le quotient : donc le di- ‘ vidende est égal au produit du diviseur par te quotient , augmenté de ce reste. Le quotient qui n’est pas exact , ne diffère pas du véritable d’une unité , puisqu’en l’augmentant d’une unité, il serait trop grand. Dans l’un des

chapitres suivans , nous donnerons le moyen «l’ohteair un quotient plus approché, et même aussi approché qu’ou voudra du véritable.

g.° Lorsqu’un diviseur est 3 a, par exemple, il y a 3 a contre i à parier que la division ne se fera pas exactement. En effet, dans la série des nombres à partir de l’unité inclusivement, les nombres de 3 a en 3 a sont les seuls exactement divisibles par 32 : donc , pour un nombre divisible par 32 , il y en a 3 i qui né le sont pas; c’està-dire qu’il y a une chance pour une division exacte , et 3 i contre: or, comme la probabilité de l’arrivée d’un événement est exprimée par une fraction qui a pour numérateur la somme des chances favorables , et pour dénominateur la somme des chances tant favorables que contraires , il s’ensuit que la probabilité d’une division exacte par 02 , est ( Alg. 2.* sert. )

10. 0 Lorsqu’on divise un nombre par 10, par 100, par 1000 , etc. , il vient pour quotient tous les chiffres du dividende, distraction faite du dernier, des deux, des trois, etc. , derniers chiffres de droite, qui forment le reste de la division : ainsi le nombre 7564 divisé par 10, par 100, par 1000, donne les quotiens 706; 75; 7 avec les restes 4 ; 64 ; 564 - En effet, 7660 divisé par 10, donne le quotient 756 , et il reste 4 qu’on ne peut diviser par 10 : le même nombre estdécoinposableen 7500 +-64 : or, 7500 divisé par 100 donne le quotient 7b, et le reste de la division est 64.

n.° On dit qu’on prend le sous-multiple d’un nombre, lorsqu’on divise ce nombre , et que la division se fait exactement. Ainsi les sous-multiples 2, 3 , 4 , etc. , d’uu nombre , sont les quotiens de la division exacte de ce nombre , par 2 , par 3 , par 4 1 etc. On dit qu’on prend le multiple d’un nombre et le sous-multiple correspondant d’un autre, quand, par exemple, on multiplie le premier nombre par 5 , et qu’ou divise le secoud par 5 .

12. 0 Lorsqu’on sait à l'avance, ou , à priori , qu'une' division se fait sans reste, on peut prendre le même multiple ou le même sous-multiple tant du dividende que du diviseur, sans que le quotient varie, parce que deux nombres se contiennent exactement de la même manière que les doubles, les triples, etc. , de ces nombres, ou que leurs sous-doubles , sous-triples , etc. C’est ainsi , par exemple, qu’il revient au même de diviser 3 i 5 o par 225 , ou leurs sous-multipies 5 , c’est-à-dire, G 3 o par 45 , ou encore les sous-multiples 5 de ces derniers, c’est-à-dire, 126 par g, ou les sous-multiples 9 de ceux-ci, c’cst-àdire , 14 et 1 dont le quotient 14 est le même que celui des nombres proposés.

x 3 .° Si daus une division qui se fait exactement, on prend un multiple quelconque du dividende , en conservant le même diviseur, on obtient le même multiple du quotient. C’est ainsi que i 5 divisé par 5 donne le quotient 3 , et que 45 , triple de i 5 , divisé par 5 , donne le quotient g, triple de 3 .

i 4 - 0 Si , dans la même hypothèse d’uue division exacte , on prend un sous-multiple du dividende, en conservant le même diviseur, il n’arrive pas toujours qu’on ait le même sous-multiple du quotient. Ainsi le dividende 48 divisé par 12, donne le quotient 4, et 24 , moitié de 48, divisé par 12, donne le quotient 2, moitié de 4 * Mais le dividende 1002 divisé par 24, donne le quotient exact 43 , et la moitié 5 i 6 divisé par 24, donne le quotient 21 avec le x’este 12. Dans le premier cas , la division du quotient par 2 était possible, et dans le second , elle ne l’est plus : toutes les fois donc que le quotient ne peut se diviser par le nombre qui a divisé le dividende , la propriété n’a pas lieu, et, de plus, la division ne se fait plus exactement.

i 5 .° Lorsque, dans une division exacte, on prend un certain multiple du diviseur , en conservant le dividende donné, il arrive quelquefois qu’on a le sous-multiple cor-