CHAPITRE VI

mière comptant 3 parties d’une ligne coupée en 16 parties égales , et la seconde 5 des mêmes parties , la somme cherchée sera évidemment 8 de ces mêmes parties , c’està-dire , j* s . Que l’on ait à ajouter et & qui ont encore même dénomination; à la somme des deux premières qui est 55, on ajoutera la troisième ce qoi fera 84-7 seizièmes , ou

Ainsi la somme d’un nombre quelconque de fractions d'une même dénomination , s'obtient en faisant la somme des nu~ mérateurs , au-dessous de laquelle on écrit le dénominateur commun.

Si à la somme précédemment obtenue , on ajoute / s , on aura, suivant la règle, f§. Pour avoir une idée nette de la signification de cette fraction , on se représentera deux lignes unités mises bout-à-bout et divisées chacune en 16 parties égales : on a pris la totalité de la première ligne, plus quatre parties de la seconde : la fraction |f vaut donc 1 + 5*5 , ce qui résulte encore de ce qui a été dit (61). Généralement, suivant que le numérateur d’une fraction est compris entre le dénominateur et son double , entre ce double et le triple , etc. , la valeur de fraction tombe entre 1 et 2 , entre 2 et 3 , etc.

Soit, en second lieu , la fraction à retrancher de : il faut donc de 5 parties d’une ligne coupée en 16 parties égales , retrancher 3 des mêmes parties ; le reste sera évidemment deux de ces parties : donc , pour soustraire une fraction d’une autre qui a même dénominateur, il faut retrancher le munérateur de la première fraction de celui de la seconde , et au-dessous de la différence écrire le dénominateur commun.

( 64 ) Jusqu’ici nous avons opéré sur des fractions d’ane même dénomination : mais comme il peut arriver qu’elles aient des dénominations différentes , nous avons à reprendre l’addition et la soustraction dans ce cas.

Qu’on ait donc à ajouter les deux fractions J et £ : si l’on pouvait les ramener à avoir même dénomination , la

question serait résolue : or, nous avons démontré (Go) que la valeur d’une fraction reste la même , c’est-à-dire , que la fraction représente encore la même portion de l’ unité, lorsqu’on a pris le même multiple de ses deux termes : donc , en partant de ce principe , on rappellera les deux fractions h une commune dénomination, en multipliant les deux termes de la première fraction § par le dénominateur 7 de la seconde, et les deux termes de la seconde fraction | par le dénominateur 3 de la première : de cette

manière, on aura ces fractions - — - ou - et s- ou — ,

’ 3xj ai 7 X3 ai ’

respectivement équivalentes aux proposées et de même dénomination entr’elles. On conçoit maintenant que si l’on avait ces trois fractions J, |,| à ajouter et préliminairement à réduire au même dénominateur, on pourrait d’abord effectuer la réduction des deux premières à une même déno*

mination, opération qui donnerait — — - et 5 — - , c’est-

à-dire, et i dont la somme est 77 ; puis, opérant de

la même manière sur - et - , on aura ces fractions

équivalentes et , cest-a-dire, -r et -r dont

z V /. '• V b ' 2ii

la somme est —, • Mais au lieu d’ajouter d’abord les deux pre-

mières fractions — et - — -, et de réduire leur somme et

la troisième fraction 3 au même dénominateur , on pourrait multiplier les deux termes de cbacune des deux premières fractions par 4> dénominateur de la troisième , et les deux termes de la troisième par 2X3, dénominateur commun des deux premières , opération qui donne ces fractions

■ * - i, \ X respectivement égales aux

proposées sous le même dénominateur : or , on n’a fait ici que multiplier les deux termes de chaque fraction par le