CHAPITRE VI

produit des dénominateurs des deux autres.. En général , quel que soit le nombre des fractions ayant des dénominateurs différens , on pourra réduire les deux premières au même dénominateur, puis celles-là et la troisième, puis ces trois premières et la quatrième, et ainsi de suite.

On sera donc conduit à ce procédé général de calcul pour réduire un nombre quelconque de fractions au même dénominateur : multipliez les deux termes de chacune des fractions , par le produit des dénominateurs de toutes les autres.

(65) La règle démontrée précédemment pour la réduction de plusieurs fractions au même dénominateur, suppose qu’un produit résultant des multiplications successives de plusieurs facteurs entr’eux, ne change point, dans quelqu’ordre qu’on effectue ces multiplications : cette prO' position démontrée (32) sur deux facteurs , va être généralisée , c’est-à-dire, étendue à un nombre quelconque de facteurs. Nous prouverons donc qu'un produit composé d’un nombre quelconque de facteurs , reste numériquement le meme , dans quelque ordre qu’on multiplie ces facteurs entr’eux , ce qu’il suffira de prouver sur trois et quatre facteurs, parce qu’ensuite, on généralisera facilement. Soit, en premier lieu, le produit.

comme on sait déjà que 3x5 peut être remplacé par 5 x 3 , le produit (i.°) sera donc équivalent au suivant 5x3x7.... ( 2 . 0 ) ; mais puisque dans ( 2 . 0 ) , ou peut remplacer 3X7 P ar 7X3, chacun des produits précédens équivaudra donc à 5X7X3 . . . . (3.°) :

en rapprochant ces résultats (i.°), ( 2 . 0 ) et (3.°), on ob^ serve que le facteur 3 y occupe successivement la première, la seconde et la troisième place. Si dans (i.°) on alterne l’ordre des deux derniers facteurs 5 et 7 , et si dans( 2 .°) ou alterne celui des deux premiers facteurs 5 et 3 ,

on aura

lesquels rapprochés du produit ( 3 .°), montrent le facteur 5 occupant alternativement la troisième , la seconde et la première place. On pourrait étendre la chose au facteur 7,

Passons il un produit entre quatre facteurs , savoir ,

des produits égaux 3x5x7, 5x3x7, 5x7X3, on conclut.ces produits équivaleus au précédent

mais comme dans cc dernier, on peut, alterner l’ordre des deux facteurs 3 et g , on aura encore le produit équivalent

Dans ces résultats (i. c ), (2. 0 ), ( 3 .°) et (4. 0 ), on voit que le iae'etir 3 occupe toutes les places possibles, et il n’est pas difficile maintenant d’étendre la chose aux facteurs 5 , 7 et 9, et le raisonnement à tel nombre de facteurs qu’on voudra.

(66) La réduction de deux ou de trois fractions à une commune dénomination, sert encore à reconnaître la plus grande, la plus petite et la moyenne. Qu’on demande, par exemple, quelle est la plus grande des deux fractions j et § : la question se réduirait à comparer les numérateurs , si elles avaient même dénominateur, puisque la plus grande fraction sei'ait évidemment celle qui aurait le plus grand numérateur : on réduira donc les deux proposées au même dénominateur , et de ce que la fraction ^ est plus grande que £, on conclura que la fraction î est plus grande que tj. C’est ainsi qu’on reconnaîtra entre trois fractions la plus grande, la moyenne et la plus petite.

(67) La règle précédente pour rappeler un nombre quelconque de fractions à une commune dénomination , ne souffre aucune exception ; mais elle a généralement l’inconvénient de substituer aux fractions données, des fractions équivalentes cxprime'es par de très-grands termes,