CHAPITRE VI

fractions qu’on cherche k éviter , parce qu’elles sont difficiles à soumettre au calcul et à interpréter: en effet, on a une idée plus nette de la fraction | que de son équivalente 0.

Dans plusieurs cas, on pourra remplacer le procédé général par le 'suivant que nous ferons connaître sur un exemple.

Soient les fractions :

à réduire au même dénominateur : le plus grand dénominateur 12 étant, en même temps, multiple des autres dénominateurs 2,3, 4 et 6, si l’on divise 12 successivement par 2, 3, 4 et G, on aura les quotiens 6, 4» 3 et 2 par lesquels il faut multiplier respectivement les deux termes des quatre premières fractions pour les rappeler au dénominateur 12.

Si l’on avait à résoudre la même question sur les fractions 237 1 19 2 11

3 ’ 6 ’ 12’ 7’ 21 ’ 5’ 25’ on réduirait i.° les deux premières au dénominateur 12; 2. 0 la quatrième au dénominateur 21 ; 3.° la sixième au dénominateur 25 ; cela fait , on n’aurait plus que trois dénominateurs différens , et s'il fallait ajouter les fractions, on ferait la somme de celles qui ont même déuominateur , ce qui donnerait trois tractions à ajouter, et préliminairement à réduire au même dénominateur.

Dans ces deux exemples, on parvient k un résultat fractionnaire exprimé plus simplement que celui qu’oa déduirait de l’application de la règle (64).

(68) On peut encore, dans un grand nombre de cas, recourir au procédé suivant, qui a sur celui que nous venons d’exposer un avantage qui sera facilement apprécié. Mais d’abord nous établirons une définition essentielle.

On appelle nombre premier tout nombre qui n’est divi-

sible que par lai-même ou par l’unité : les autres nom- . bres , par opposition aux nombres premiers ou indécomposables en facteurs, sont dits nombres composés : ceux-ci sont toujours décomposablcs en facteurs nombres premiers, tels que 2, 3, 5, 7, etc. : nous donnerons plus loiu la manière très-simple d’opérer cette décomposition. Revenons à la question et proposons-nous de réduire au même dénominateur les fractions

237 i 3 iq 27 11

ô > r. » — > — » “7» ~ ? 7: > -2 » ~r o fa 12 7 14 21 0 i 5 2»

Les dénominateurs

aX3

> sont dt-'coaiposablos en (

or, à l’inspection des dénominateurs décomposés en facteurs , ou reconnaît que 2 étant facteur 2 lois au plus, que 3 étant facteur 1 fois au plus, 5 facteur 2 lois au plus, et 7 facteur i fois au plus, si l’on multiplie les dénominateurs décomposés

respectivement i par

les dénominateurs résultaus seront constamment

aX2X3x5x5x

c’est-à-dire, composés des mêmes facteurs répétés chacun le même nombre de fois: donc, si l’on multiplie chaque numérateur par le produit des facteurs introduits dans le dénominateur correspondant , ou aura des fractions respectivement égales aux proposées, ramenées à une commune dénomination , et exprimées par les plus petits termes possibles, puisque chacun des facteurs premiers 2,3, 5,7 n’aura été introduit tant dans les numérateurs que daus les dénominateurs, que le nombre de fois strictement nécessaire pour remplir la condition énoncée.

(69) Tout nombre entier peut être écrit sous la forme d’une fraction ayant un dénominateur donné. Pour opérer cette transformation , on multiplie le nombre entier par le dénominateur donné , et au-dessous du produit, on écrit ce même dénominateur. Par-là on a multiplié et divisé, en même temps, l’entier par le même nombre. C’est ainsi qu’on ramènë les opérations de l’addition et de la soustraction sur un entier et une fraction , aux mêmes opérations sur deux fractions.

(70) On appelle fraction vraie celle dont le numérateur est moindre que le dénominateur , et qui n’exprime qu’une portion de l’unité, pour la distinguer de celle dont le numérateur excède le dénominateur et qui vaut plus d’un entier.

De la Multiplication et de la Division des Fractions.

(71) La multiplication des fractions offre trois cas; savoir :

une fraction > , ... / un entier;

un entier ^ < une traction ;

une fraction 5 “ * 1 ( une fraction,

i.” Cas. Soit la traction f à multiplier par 4 t ou h répéter 4 fois : cette opération revient à l’addition..,,

+ V d’après la règle ( 63 ).

Généralement donc , pour multiplier une friction par un entier, il faut faire le produit du numérateur de la fraction par l'entier, et écrire au-dessous le dénominateur commun.

D’après cette règle, le produit £ X 2 est | ou \, après avoir divise' haut et bas par 2 , d’après (60) ; le produit £ x a est î ou î , après avoir divisé haut et bas par 2 ; enfin le produit 5 3 f par 7 , est f£, ou après la division des deux termes par 7. On remarque donc qu’on a multiplié les fractions £ et £ par 2, en divisant les dénominateurs 6 et 8 par 2, et conservant les numérateurs; et qu’on a multiplie la fraction ,, par 7 , en divisant le dénominateur 28 par 7 , et conservant le numérateur 3 . Généralement , lorsque le nombre entier par lequel on multiplie, est un diviseur exact du dénominateur de la fraction , le produit est une fraction dont les deux termes ont pour facteur commun l’entier multiplicateur ; en sorte que, comme ou peut supprimer ce facteur dans les deux termes de la fraction-produit , sans l’altérer, (60), on est conduit à cette seconde règle.

On peut encore multiplier une fraction par un nombre entier, en divisant le dénominateur par cet entier, sans toucher au numérateur.

Ou observera que cette règle n’est applicable qu’autant que le dénominateur de la fraction est divisible par l’entier , et que , dans ce cas , elle est préférable h la première, parce que la fractiou qu’elle donne pour produit est plus simple.

On peut démontrer cette seconde règle directement. En effet, lorsqu’on divise le dénominateur d’une fraction par 5 , par exemple, chacune des nouvelles sous-divisions en vaut cinq des premières,- et comme on en prend le même nombre, la nouvelle fraction vaut cinq fois la première. Ce tour de raisonnement peut être appliqué dans tous les cas.

Nous démontrerons de suite le procédé pour divisée