CHAPITRE VI

qui n’a d’antres diviseurs que lui-même et l’ unité. ( # ) Deux nombres sont dits premiers entr’eux , lorsqu’ils n’ont pas de commun diviseur : ainsi deux nombres sont nécessairement premiers entr’eux , lorsque chacun d’eux est premier : deux nombres peuvent cependant être premiers entr’eux, quoique chacun d’eux soit décomposable eu facteurs: tels sont, par exemple, les nombres 6 et 35 dont le premier est divisible par 2 et par 3 , et le second est divisible par 7 et par 5 , et qui n’ont pas de commun diviseur.

Il résulte de ces notions, que lorsque les deux termes d’une fraction sont séparément des nombres premiers, ou lorsqu’ils sont des nombres premiers entr’eux, il n’y a pas lieu à exprimer la fraction plus simplement : une telle fraction est dite irréductible.

Dans le cas contraire , si on savait décomposer les deux termes de la fraction , en tous leurs facteurs nombres premiers, on simplifierait la fraction, en eifaçant dans les deux termes les facteurs communs. Soit, par exemple, la fraction |f|| : SO n numérateur étant le produit 2 x3x5x7X7Xii, et son dénominateur le produit 2X2X2X5X7X7X11, la proposée revient donc à

— — - - - - - - - - — 6 — — — : eilaçant dans les deux termes les 2X2X2X5X7X7X11

facteurs communs 2, 5 , 7 , 7, 11 , il reste ou § pour

plus simple expression de la proposée. •

Ce procédé revient évidemment h essayer la division des deux termes de la fraction successivement par le* nombres premiers 2 , 3,5, 7, 11, i3, etc. , en commençant par les plus petits; mais il peut arriver que le plus petit diviseur nombre premier , soit un assez grand nombre, on qu’il soit le numérateur lui-même: dans ces

(*) Tous les nombres premiers sont nécessairement impairs , à l'exception du nombre 2.

deux cas, on peut être exposé à beaucoup d’essais inutiles. Cependant , lorsqu’on 11e trouve pas un diviseur exact au-dessous de la plus grande moitié du numérateur, on doit conclure qu’un tel diviseur n’existe pas; car, puisqu’il doit diviser exactement le numérateur qui est le plus petit des deux termes , il ne peut excéder la moitié de ce numérateur, h moins qu’il ne soit le numérateur lui-même.

Lambert, et tout récemment l’astronome Burkardt ont donné des tables très-étendues de nombres premiers qui servent à la décomposition d’un nombre en ses facteurs nombres premiers. Nous en avons extrait la suivante qui s’étend de x à 5 oo.

loi

io 3

ig3

Étant donné le nombre i 3 o 35 i , on essaie de le diviser par les plus petits nombres premiers 2, 3 , 5 , 7, etc., et on trouve que i3 est le plus petit diviseur exact, d ou on conclut i 3 o 35 i égalé i 3 X 10027 : on cssa * e division du quotient 10027 par les nombres premiers consécutifs à i3 , et on rencontre Z" pour diviseur exact ; le quotient de