CHAPITRE VI

cette division étant 271, on a i 3 o 35 i égalàioX 37 X 271 : or, 271 étant lui-même un nombre premier, comme l’indique la table , la décomposition en facteurs ne peut être poussée plus loin.

Proposons-nous de décomposer le nombre 36 o en tous ses facteurs premiers et composés. On procède comme il suit :

la division de 36 o par 2 donne le quotient 180 , qui , divisé par 2 , donne le quotient go , qui , divisé par 2 , donne le quotient 43 qui n’est plus divisible par 2 : on essaie alors la division par 3 ; 43 divisé par 3 donne le quotient i 5 , qui , divisé par 3 , donne le quotient 5 : 5 n’étant plus divisible par 3 , mais par 5 , on a le quotient 1 : l’opération s’arrête à ce terme, et on a 36 o égal à 2 X 2 X 2 x 3 x 3 x 5 .

Il nous reste à trouver les facteurs composés donnés par l’opération suivante :

5 5 , 10, 20, 40 1 * 3 , 3 o, 60 , 120, 43 , go, 180, 36 o. Par le second quotient 2, on multiplie le quotient supérieur 2 , ce qui donne 4 qu’on écrit sur la seconde ligne ; par le troisième quotient 2 , on multiplie les nombres des deux premières lignes, savoir, 2 et 4; un rejette le produit 4 déjà obtenu , et on écrit 8 sur la troisième ligne; par le diviseur 3 on multiplie tons les nombres supérieurs , c’est-à-dire , tous les diviseurs 2 et les produits 4 et 8, et ou écrit sur la quatrième ligne tous les produits différons ainsi obtenus : et ainsi par

3 et par 5. De cette manière on forme tou* les diviseurs composés de 36o, qui sont au nombre de vingt. On voit qne toute la difficulté consiste daus la recherche des diviseurs nombres premiers ( Algèbre , i." section).

(78) bientôt nous ferons connaître quelques propriétés des nombres considérés comme diviseurs, et qui trouvent leur application dans le problème actuel : cependant ces moyens laissent à désirer une méthode expéditive et sûre pour réduire , lorsqu’il y a lieu, une fraction à sa plus simple expression, c’est-à-dire, pour découvrir le plu* grand nombre qui puisse eu diviser, en même temps, les deux termes, puisqu’on obtient alors les deux plus petits quoliens possibles. Nous avons doue à résoudra ce problème.

Étant donnés deux nombres qu'on peut regarder comme les deux termes cTune fraction , t/vuver leur plus grand commun diviseur.

Pour abréger le discours , nous conviendrons de noter par ce signe = qu’on prononce égal à, l’égalité entre une opération indiquée et le résultat de cette opération: ainsi,

par exemple, 8 = 5 -f- 3, 8 = jo — 2, 8 = 4 X î, 8 = Le*

deux parties de l’égalité séparées par le signe = , s’appellent membres de l’égalité: celui qui est à gauche do. signe = , est dit premier membre , et celui qui est à la droite , est dit second membre.

Soient maintenant les deux nombres 63y et i43 entre lesquels il s’agit de trouver- le plus grand commun diviseur: ce plus grand commun diviseur devant diviser les deux nombres, ne peut excéder le plus petit des deux; mais il peut être ce plus petit nombre lui-même: il convient donc d’essayer si le nombre i43 qui se divise lui-même, divise aussi 63y, auquel cas il serait le plus grand commun diviseur cherché: la division faite, ou trouve le quotient 4 avec le reste G5 , en sorte que (45 , 8.°) 687 = i43 X 4 + 65 ;