CHAPITRE VI

maintenant il est visible que tout divîsenr commun à 6.37 et i43, doit diviser le reste 65: car, comme il divise i43, il divisera i 43 x 4 qui est une des parties de 637 , il faut donc qu’il divise séparément l’autre partie 65 ; il résulte de là que le plus grand commua diviseur des nombres 637 et i 43 doit l’être aussi des nombres i43 et 65: en effet, si ces deux nombres i 43 et 65 pouvaient admettre un diviseur commun qui lût plus grand que le plus grand commun diviseur entre 637 et i43, comme il diviserait d’abord i43 et conséquemment i43 X 4» ensuite 65, et conséquemment i43 X 4 + 63 = 637 ; il deviendrait donc diviseur commun de 637 e l *43 : d’où résulterait cette conséquence absurde que 637 et i43 pourraient admettre uu diviseur commun pins grand que leur plus grand commun diviseur : donc le plus graud commun diviseur des nombres 637 et i 43, se transmet aux nombres i43 et 65.

On a donc à résoudre sur les nombres i43 et 65, exactement la même question que sur les nombres donnés, si ce n’est qu’elle est devenue plus facile, parce que les nombres sont deveuus plus petits. Il est clair que le plus grand commun diviseur cherché ne peut excéder 65, puisqu’il doit diviser i43 et 65; il peut être 65 lui-même, ce qui aura lieu si 65 divise exactement i43 : en faisant cette division, on trouve le quotient 2 ®et le reste i3 ; donc 65 n’est pas le plus grand commun diviseur cherché, et on a

en raisonnant sur cette égalité, comme on l’a fait sur la précédente , on conclura que le plus grand commun diviseur de i43 et 65, qu’on sait être le même que celui de 637 et i 43, doit l’être de 65 et i3 ; donc il ne peut surpasser i3 : il faut donc essayer si i3 divise 65, ce qui arrive, puisqu’on a pour quotient 5 avec uu reste séro : ainsi i3 est le plus grand commun diviseur cherché.

go ARITHMÉTIQUE,

Il ne sera pas inutile de faire remarquer qu’on a ramené la question proposée sur les nombres 637 et * 4 3 , à une question de même énoncé sur ces nombres successivement plus petits i43 et 65, 65 et i3, jusqu’à ce qu'enfin on ait obtenu un diviseur exact, lequel est le plus grand commun diviseur des deux nombres proposés.

Il est commode dans la pratique de faire les divisions successives à la suite l’une de l’autre, et d’adopter le dispositif suivaut :

reste. 65 i3 o

Les raisonnemens faits sur les deux nombres précédens pouvant s’appliquer à deux nombres quelconques , nous en déduirons cette règle générale.

Pour obtenir le plus grand commun diviseur de deux nombres , on divisera le plus grand de ces deux nombres par le plus petit , le plus petit par le premier reste , le premier reste par le second reste , le second reste par le troisième , et ainsi de suite , jusqu'à ce qu'on ait obtenu un quotient exact ou un reste nul : le dernier diviseur , c'est-à-dire , celui qid fait sa division exactement , est le plus grand commun diviseur cherché : si l’on divise les deux termes de la fraction proposée par ce plus grand commun diviseur , on a les deux plus petits quoliens possibles, et la fraction dtklre ces quotiens , est la plus simple expression de la proposée.

( 79 ) Lorsque le dernier diviseur est l’unité, on conclut que la fraction proposée ne peut être réduite , c’està-dire , que ses deux termes sont premiers entr’eux : dans ce cas , cette fraction est dite irréductible ( 77 )-

( 80 ) Lors même qu’on est conduit à une fraction irréductible et exprimée par de grands nombres, on peut encore la remplacer par une fraction exprimée plus simplement, qui, à la mérité , n’équivaut plus à la proposée,