CHAPITRE VL g

ses dont jouissent ces fractions et dont on trouvera la théorie complète dans les deux volumes d’algèbre , nous nous bornerons à démontrer la suivante qui n’est pas une des moins importantes , savoir , que si l’on prend à partir de l’origine de la fraction continue , les portions

et qu’on les réduise en fractions ordinaires, comme on le verra plus bas , ces fractions seront alternativement plus petites et plus grandes que la fraction totale ’fr/- Il est d’abord visible, quant à (i.°), que la partie entière i est plus petite que y^.

Dans (a. 0 ) , le dénominateur 4 étant pins petit que le véritable dénominateur qui est le dénominateur total 4 -+- etc., c’est-à-dire, étant trop petit, (j’appelle trop petit tout dénominateur plus petit que le véritable ) , la fraction J est trop grande ( plus grande que la véritable ) et conséquemment la somme i + * est plus grande que y,y, ou trop grande.

Dans ( 3 .°), le dénominateur 9 est trop petit, donc la fraction | est trop grande : donc le dénominateur 4 + 1 est trop

grand : conséquemment la fraction - — — - est trop petite ,

ainsi que la somme x + cette fraction ; par où il faut toujours entendre que cette somme est plus petite que Dans( 4 - D ), le dénominateur 2 est trop petit, la fraction I trop grande , le dénominateur 9+ { trop grand , la fraction

—trop petite, le dénominateur 4-1 — trop petit.

la fraction 1 divisée par ce dénominateur trop petit, est trop grande : conséquemment l’unité plus cette fraction trop grande , est une somme trop grande , c’est-à-dire , plus grande que

Ce raisonnement étant facile à continuer, nons laisserons au lecteur le soin de l’étendre aux portions suivantes.

Or, ces portions (x,°), (a. 0 ), ( 3 .°), (4. 0 ), ( 5 .°), (6.°)