CHAPITRE VI

fractions convergentes, et à la suite la fraction § qui répond à la première portiou de la fractiou continue totale ; audessus de cette secoude fraction J , on trouve écrit le second quotient 7 v par ce quotient 7 on multiplie le numérateur, puis le dénominateur de la fraction au premier produit on ajoute le numérateur o de la fraction précédente , et au second produit , on ajoute le dénominateur 1 de la même fraction : on forme ainsi le numérateur et le

dénominateur de la troisième fraction — . Au-dessus de

cette troisième fraction ,• on trouve écrit le troisième quotient i 5 ; multipliant le numérateur 7 par i 5 et au produit ajoutant le numérateur 1 de la fraction précédente , on forme le numérateur 106 de la quatrième fraction ; par ce même quotient i 5 , multipliant le dénominateur 22 et au produit ajoutant le dénominateur 3 de la fraction précédente, on forme le dénominateur 333 de la quatrième fraction. Au-dessus de celle-ci , on trouve écrit le quatrième quotient 1 , et ou a

ii 3 = ix 106 + 7

En suivant la même loi , on formera les deux termes des fractions convergentes consécutives , d’après ces égalités

«n observe que la dernière fraction n’est autre que la proposée.

On démontrera , comme ou l’a fait dans l’exemple précédent, que la première fraction * est plus grande que

la proposée, que la seconde fraction — est plus petite que

la proposée , ou qu’elle est trop petite , que la troisième

I ol) • •

fraction — est trop grande , et ainsi de suite. Parmi

toutes ccs fractions convergentes , on emploie en géomé- 7 I 1 3

trie celles-ci — , qui donnent deux rapports simples

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et approchés du diamètre à la' circonférence.

2. ° Le mois synodiqtte ou le temps qui s’écoule d’une nouvelle lune à l’autre, est de 29’ 12’’ 44* » ou 42824'; la durée de l’année tropique ou solaire, est, suivant Af. de la Caille , 365 * 5 h 48' 49” 5 nous prendrons 365 * 5 h 49' qui valeut 625949': lu rapport de l’une à l’autre, est

1— : en le réduisant en fraction continue , on trouve

les quotiens 12, 2, 1, 2, 2, 21, d’où on conclura ces rapports rapprochés.

L’errenr qui résulte du dernier substitué au rapport vrai , est, à-peu-près, de 1 sur cent mille : ainsi 235 mois synodiques sont à-peu-près égaux à 19 années solaires, de sorte que le commencement de la 20.* année sera aussi celui du a 36 .' mois. Telle est la période au bout de laquelle les nouvelles et les pleines lunes reviennent aux mêmes jours de l’année. Cette période, appelée vulgairement cycle lunaire , a été assignée par Meton , astronome d’Atliènes , 480 années avant J.-C,

3 . ° Nous avons dit que l’année solaire est de 365 * 5 * 48 ' 49"» et par conséquent plus longue de 5 h 48 ' 49 " 9 ue l’année commune de 365 * : si cette différence était exacte-