CHAPITRE VI
(8i) Nous avons promis ( 48 ) d’examiner ce que deviennent le quotient et le reste d’une division, lorsqu’on prend un multiple soit du dividende, soit du diviseur, soit enfin de ces deux nombres, en même temps.
tes démonstrations des théorèmes qui suivent, et qu’on peut passer dans une première lecture , sont fondées sur cette propriété évidente dont jouit l’égalité de n’étre pas altérée , soit qu'on augmente ou qu’on diminue ces deux membres (78) d’un même nombre , soit qu’on les multiplie ou qu’on les divise par un même nombre. En effet , l’un des deux membres ne faisant que répéter l’autre , sous une autre forme, les résultats numériques dus à la même opération pratiquée sur l’un et l’autre membre , ne peuvent manquer d’être encore égaux.
Si l’on désigne un dividende par D , le diviseur par d , le quotient par q et le reste de la division par r, on sait ( 45 ) que D = d X q -\-r:
si l’on divise maintenant chacun des deux membres par le diviseur d , les deux quotiens resteront égaux, et on aura conséquemment l’égalité
en observant i.° que pour diviser le second membre par d, il faut diviser séparément par d chacune des deux parties d X q , et r ; 2. 0 que le produit d X q étant divisé par l’un de ses facteurs d , donne pour quotient l’autre facteur q ; et que r , comme reste , étant moindre que la division de r par d , donne lieu à une fraction.
Supposons, en premier lieu, qu’on prenne le mêm« multiple m du dividende et du diviseur : l’égalité (1) deviendra en y changeant D et d en /«D et md, mD r . .
et comme les
premiers membres , d
des égalités (1)
md
ARITHMÉTIQUE, et (-î) sont absolument les mêmes (60), les seconds le sont aussi : d’où on conclut
Que si l’on prend le même midtiple du dividende et du diviseur, le quotient q et le teste r ne changent pas.
Cette conclusion convient à une division exacte , puisque ,
pour ce cas , il ne faut que supprimer r, ou le terme —
dans les égalités (i) et (2).
On observera que m peut être une fraction telle quef, etqu’alors la conséquence précédente a encore lieu.
Supposons , en second lieu , qu’on multiplie par m les deux membres de l’égalité (1) : elle deviendra mD tnr
en observant de multiplier séparément par m chacune des
deux parties q et — du second membre : mais quoique r d
soit moindre querf, il peut cependant arriver que mrsoit plus grand que d , auquel cas /«^ serait augmenté dequel- * ques unités.
Donc , lorsque sans toucher au diviseur, on prend le multiple m d'un dividende, on peut avoir un multiple du quotient , plus grand que m.
Par exemple, 7 divisé par 5, donne le quotient 1 , et le
reste 2 : et 6 X 7 ou Ipi divisé par 5, donne le quotient
fi et le reste 2 : ce second quotient 8 est plus grand que
ti fois le premier quotient.
Lorsque m est une frnelion telle que - , mr devient -, et
comme r est moindre que d, le septième de r est , h plus forte raison, moindre que d: on a donc un sousmidliplc du quotient e’gal à celui qu’on a pris du dividende , si cependant on peut prendre ce sous-multiple , ce qui n'est pas toujours possible. Ainsi , par exemple , 18 divisé par 5 , donne
