CHAPITRE VI. io

le quotient 3 avec le reste 3 , et la moitié' de 18, c’est-àdire , 9 divisé par 5 , donne le quotient 1 avec le reste 4 • le second quotient n’est pas la moitié du premier, parce que le premier quotient n’est pas divisible par 2 : mais le tiers de 18, c’est-à-dire, 6 divisé par 5 , donne le quotient 1 avec le reste 1 : ici le quotient et le reste sont devenus tiers de ce qu’ils étaient dans la première division.

Lorsque la division se fait exactement , on a r = o, et l’égalité ( 3 ) devient

mD

Alors si m est un nombre entier, on a même multiple du quotient et du dividende ; lorsqu’au contraire m est

fractionnaire, et, par exemple , il peut arriver que le

quotient q ne soit pas divisible par 7. Par exemple , 63 divisé par 7, donne le quotient 9 , et le septième de 63 , c’est-à-dire , 9 divisé par 7, doune le quotient 1 avec le reste 2 : en effet, le second quotient n’est pas le septième du premier.

Si dans l’égalité (1), on divise de partet d’autre par m , ce qui revient à multiplier le diviseur d par m , sans toucher au dividende (page 79), on aura celle-ci

nul m

md

D’où on conclut que, lorsque sans toucher au dividende , on prend le multiple m du diviseur , on peut avoir le même sous-multiple m du quotient.

Il peut cependant arriver que le quotient ne soit pas divisible exactement par ni, et alors la conclusion précédente est en défaut. Si m est une fraction telle que - , l’e'galité (4) devient

io 4 ARITHMÉTIQUE,

Comme 7 r peut être plus grand que d , on peut avoir plus de 7 fois le quotient.

Ainsi , lorsqu’on prend un sous-multiple m du diviseur avec le même dividendè , on peut avpir un multiple du quotient plus grand que m.

Lorsque la division se fait sans reste, le multiple du quotient correspond toujours au sous-multiple du diviseur.

De quelques propriétés des nombres considérés comme diviseurs.

(82) Les propriétés que nous allons démontrer servent, dans un grand nombre de cas, à réduire une fraction à sa plus simple expression, ou au moins, U opérer un commencement de réduction qu’on achève par la méthode du plus grand commun diviseur.

i." Tout nombre est divisible par 2, lorsque le chiffre des unités est divisible par 2 ; tels sont les nombres 22 , i 34 , i 538 , etc. : en effet, quel que soit le nombre proposé, et dont le chiffre des unités est divisible par 2, lorsqu’on aura opéré la division de scs dixaiues par 2 , le reste ne pourra être que o ou 1 : en sorte qu’il restera à diviser par 2 , l’un de ces nombres o , 2, 4,6,8, dans le cas du reste o , et l’un de ceux-ci 10, 12, 14, 16, 18, dans le cas du reste 1 , divisions qui se font exactement. Autrement tout nombre étant décoraposable en ùixaines et en unités, comme une dixaine est divisible par 2, et qu’ainsi il en est de même d’un nombre quelconque de dixaines, la divisibilité du nombre par 2, dépendra de la divisibilité du chiffre des unités par 2.

Les nombres divisibles par 2 , se nomment nombres pairs , parce qu’ils peuvent être partagés en deux parties pareilles ou égales} les nombres non divisibles par 2 , sont dits impairs.