CHAPITRE VI. ' io

2 . ° On reconnaît qu’un nombre est exactement divisible par 3 , à ce que la somme de ses chiffres considérés comme s’ils ne comptaient que des unités simples , est 3 ou nn multiple de 3. Le nombre 35463 donnant pour somme de ses chiffres 3 + 5 + 4 + 6 + 3= 21 , exactement divisible par 3, est lui -même exactement divisible par 3. Cette propriété du nombre 3 est la conséquence d’une propriété analogue du nombre 9 , que nous démontrerons plus loin.

3. ° Un nombre est divisible par 4 , lorsque le nombre formé de ses dixaines et de ses unités , .est divisible par 4 ; en effet, une centaine étant divisible par 4 » nn nombre quelconque de centaines est aussi divisible par 4 ; il suffit donc que la condition énoncée ait lieu. Le nombre 1428 = 1400 + 28 ; or, de ce que 28 est divisible par 4 , on conclut que 1428 l’est pareillement.

4. ° Un nombre est exactement divisible par 5 , lorsque son dernier chiffre est o ou 5 : cette propriété est évidente, en observant que tout nombre de dixaines étant divisible par 5, la totalité du nombre sera divisible par 5 , dans les hypothèses ci-dessus. Tout nombre terminé par un nombre quelconque de zéros , est divisible par le produit d’autant de facteurs 5, proposition qui nous servira bientôt.

5. » Un nombre pour être divisible par 6 , doit l’être par 2x3, ou par 2 , puis par 3 : la divisibilité par a exige qu’il soit terminé par un chiffre pair: la divisibilité par 3 exige que la somme de ses chiffres soit 3 ou un multiple de 3.

6 . ” Quant au caractère de divisibilité par 7 , nous nous bornerons à observer que les restes des divisions par 7 de ces nombres 1 , 10 , 100 , 1000 , 10000 , etc. étaut i,3, 2,6, 4, 5, puis 1 , 3 , 2 , 6 , 4 » 6 , et ainsi de suite périodiquement , un nombre sera ou ne sera pas divisible par 7 , suivant que la somme faite des produits des chiffres de ses unités, dixaines, centaines, mille, dixaines de

io6 ARITHMÉTIQUE,

mille , centaines de mille , etc. , respectivement par i , 3 , 2,6,4, 5 , etc. sera ou non divisible par 7. Dans ce dernier cas , le reste sera le même que celui de la division du nombre proposé par 7. Au reste , ce caractère sur lequel nous reviendrons dans l’algèbre , étant compliqué , il est plus simple d’essayer la division.

7. 0 U11 nombre est exactement divisible par 8, lorsque ses centaines, ses dixaines et ses unités forment un nombre divisible par 8, et, en effet, un mille étant divisible par 8, un nombre quelconque de mille est pareillement divisible par 8. Des caractères de divisibilité par 2,4, 8, on peut conclure que tout nombre terminé par un nombre quelconque de zéros, est exactement divisible par un produit formé du même nombre de facteurs 2, proposition sur laquelle nous reviendrons bientôt.

8.° Un nombre est divisible par g, lorsque la somme de ses chiffres considérés comme comptant des unités simples, est g ou un multiple de g.

En effet, les nombres

1 10 100 1000 10000, etc.

divisés par g , laissent le reste 1 ; les doubles

2 20 200 2000 20000, etc.'

divisés par g, laissent le reste 2; les triples

3 3 o 3 oo 3 ooo 3 ôooo,etc.

divisés par g , laissent le reste 3 , et généralement le reste est toujours le chiffre significatif, pourvu cependant qu’à l’égard des nombres

g 90 goo gooo goooo, etc.

on suppose un quotient plus petit d'une unité que le véritable, ce qui est permis, puisque le produit du diviseur par le quotient plus le reste , est toujours égal au dividende. Soit maintenant le nombre 235 y 84 : on peut le décomposer en 20oooo-f-3ooooq-5ooo-t-700 - 1 - 80+4 : et comme la division de chacune de ces parties separees par 9, laisse les restes 2, 3 , 5 , 7, 8 , 4 » il faudra ajouter