CHAPITRE VI

ccs restes et diviser la somme par 9 ; cette division donnant le reste 2 , on conclura que 235784 n’est pas divisible par 9; ainsi, sans passer par le quotient, on trouve le reste 2. A l’égard du nombre 235782 , la somme des chiffres étant 27, qui est multiple de 9 , on est assuré que la division par 9 doit s’effectuer exactement.

Les restes des divisions de ces nombres

1 10 100 1000 10000, etc.

2 20 200 2000 20000 , etc.

etc.,

par 3 , étant les mêmes que ceux des divisions par 9, eu prenant convenablement les quotiens, la conclusion sera le caractère de divisibilité par 3 éuoncé plus haut.

On a fondé sur cette propriété du nombre 9 des preuves de la multiplication et de la division que nous allons faire connaître, en renvoyant pour les démonstrations à la première section de l’algèbre. Qu’il s’agisse de vérifier le produit de 654 g 8 par 4^4 » lequel est 29736092 : z.° on ajoutera tous les chiffres du multiplicande comme s’ils ne comptaient que des unités simples , et divisant cette somme par 9, on aura le reste 5 : 2. 0 on ajoutera tous les chiffres du multiplicateur, sous la même hypothèse , et divisant la somme par 9 , on aura le reste 4 '• 3 .° on multipliera les deux restes 5 et 4 » e t divisant Je produit 20 par 9 , on aura le reste 2 ; 4-° on ajoutera tous les chiffres du produit et divisant la somme par 9 , on trouvera le reste 2 , le même que le précédent. C’est de cette identité des restes qu’on cdnclut que le produit est exact. Mais pour qu’on puisse apprécier le mérite de cette preuve, nous observerons qu’on aurait encore eu de part et d’autre le même reste 2 , en intervertissant à volonté l’ordre des chifïres du produit, et les écrivant, par exemple, en cette manière: 27 906 329 , parce que la somme des chiffres restant la même dans les produits vrai et interverti , les restes de

xo8 ARITHMÉTIQUE,

la division par 9 , doivent être les mêmes ; ainsi la preuve serait en defaut dans cette circonstance : elle le serait encore s’il y avait des erreurs en moins dans quelques chiffres du produit, et des erreurs en plus dans quelques autres, de manière cependant qu’il y eût compensation. Mais si le produit est erronné de toute autre manière , la condition des restes égaux n’étant plus satisfaite, on est averti que le produit n’est pas exact. Quant à la division , après avoir retranché le reste final du dividende , la différence étant ou devant être l’exact produit du diviseur par le quotient, il y a lieu à appliquer la preuve précédente et à faire les mêmes observations. Il convient donc , pour plus de sûreté , de vérifier la multiplication par la division, et la division par la multiplication.