CHAPITRE VU. n
du numérateur , ce qui revient h le multiplier successivement par io, c’est-à-dire, à introduire les facteurs a et 5 autant de fois qu’on a ajoute de zéros ; lors donc que le dénominateur si’est lui-même qu’un produit de facteurs 2, ou de facteurs 5 , ou de facteurs 2 et 5, nécessairement ce dénominateur ou ce diviseur s’introduit en facteur du dividende ; conséquemment la division se fait exactement , et le quotient est terminé.
Généralement donc , (juel que soit le numérateur d’une fraction, la division s’arrêtera , ou le quotient décimal sera fini , i." lorsque le dénominateur ne sera) composé que de facteurs 1 , ou de facteurs 5 ; 2. 0 lorsqu'il ne sera composé que de facteurs 2 et 5 .
Soit la fraction — : comme le dénominateur est le
ib
produit 2X2X2 x 2 , si on écrit quatre zéros à la droite du numérateur 3 , on aura ce nouveau numérateur 3 x2x5x2x5x2x5x2x 5, c’est - à - dire , 3 x5x5x5x5x 2X2X2X2, qui divisée par a x 2 x 2 x 2 , donne le quotient 3 X 5 x 5 x 5 x 5 égal à 1875; mais comme on a multiplié le dividende par 10000 , il faut prendre le dix-millième de ce quotieut, qui sera 0,1875 , comme on le trouverait par la division effective.
Si le diviseur ne satisfait pas à l’une des conditions énoncées plus haut, la division ne se terminera jamais, et nous allons démontrer qu’alors la fraction décimale sera nécessairement périodique : en effet , comme chacun des restes est moindre que le diviseur , et comme d’ailleurs le nombre des restes differeus entr’eux est, au plus, égal au diviseur moins l’unité, en observant qu’aucun de ces restes ne peut être nul, il faudra bien qu’après les avoir épuisés , on retombe sur l’un des précédens. A partir de cette époque, les dividendes précédens se reproduisant dans le même ordre, il en sera de même des chiffres du quotient ; donc , etc.
ï ï 4 ARITHMÉTIQUE,
(85) Passons à la question inverse, ou proposons-nôu* de revenir d’une fraction décimale périodique à la fraction ordinaire qui lui a donné naissance , et qu’on nomme fraction génératrice. .
Si l’on convertit par le procédé connu les fractions
- > — t ~ — , etc., en fractions décimales, on trouvera 9 99 999 ’
ï , etc.
— = o, oi oi oi oi oi oi, etc.
— — z= o, ooi ooi ooi oor ooi ooi , etc.
— - — — 0,0001 oooi oooi oooi oooi oooi , etç,
etc.
Qu’il s’agisse maintenant d’assigner la fraction génératrice de la fraction décimale périodique 0,27 27 27 , etc. : il est clair que si l’on fait la somme de vingt-sept fractions périodiques, telles que 0,01 oi 01 , etc., on aura pour résultat o, 27 27 37 , etc. : donc aussi , en prenant vingt-
sept fois la fraction — , on aura — pour fraction géné- 90 99
ratrice de o, 27 27 37 , etc. Soit , en second lieu , la fraction périodique o, 234 *34 234 1 etc. dont on demande la fraction génératrice : comme la période a trois chiffres , on partira de la fraction 0,001 001 001 , etc.: la somme de 234 fractions telles que la précédente sera de
0,234 234, etc. : donc 234 fois — , c’est-à-dire, — seri
la fraction génératrice cherchée.
En ' raisonnant de la même manière sur toute autre fraction périodique donnée , on conclura généralement que,
Pour reporter d’une fraction décimale périodique a la
