CHAPITRE Vil. u

fraction ordinaire qui lui a donné naissance, il faut diviser une période considérée comme un nombre entier , par un nombre formé d'autant de 9 qu’il y a de chiffres dans cette période , sans faire abstraction des zéros, qui peuvent entrer dans la période : on réduit ensuite la fraction s'il y a lieu.

Ainsi, pour la fraction périodique o,ooa 3 ooa 3 ooa 3 , etc.

la génératrice serait — =

(86) Cette règle suppose, hien entendu, que la période commence au chiffre des dixièmes; ce qui n’arrive pas toujours, ainsi qu’on le remarque dans la suivante 0,48 324 824 324 , etc.

qui ne devient périodique qu’à la troisième place à droite de la virgule. Nous allons en chercher la fraction génératrice : la fraction donnée revient à la suivante: o, 48 + 0,00 3 a 4 3 a 4 3 a 4 » etc.

48 0,024 324 324 , etc.

48 ( 324 . ioQ (#) __ 48 ( 324 48 X 9994 - 3-4

Ainsi , pour former la fraction ordinaire génératrice d'une fraction décimale qui ne devient périodique qu’à plusieurs intervalles de la virgule , il faut considérer la partie étrangeté à la période comme un nombre entier , la multiplier dans •elle hypothèse , par un nombre forme d'autant de 9 qu’il y a de chiffres dans une période , à ce produit ajouter une période considérée comme nombre entier et doimer à cette somme un dénominateur formé d autant de 9 qu’il y a de chiffres dans Une période , qu’on fera suivre d’ autant de zéros qu’il y a de chiffres dans la partie non périodique.

(*) Les «le 111 points indiquent que !• fraction doit être di* visée par îdo.

n6 ARITHMÉTIQUE,

La fraction ci-dessus devient, après les opéra tionseffectuées,

48276 48276 a4i38 12069 4 oa 3 i 34 i

» P' us simple expression de la proposée.

On remarquera que , puisqu’il n’y a pas de zéros à la

suite du numérateur de la fraction immédiate — , on

n’a pu supprimer dans les deux termes de cette fraction , à l’eflct de la réduire , i.° que des facteurs 2 seulement, ou des facteurs 5 seulement qui peuvent être communs au numérateur et au facteur 100 du dénominateur de la fraction immédiate ; 2. 0 et en outre , que des facteurs nécessairement autres que ceux-là , communs au nouveau numérateur et au second facteur 99g du dénominateur. Mais comme les zéros à la suite des 9 au dénominateur de la fraction primitive , sont en même nombre que les chiffres non périodiques , il s’ensuit que si l’on décompose le dénominateur de la fraction réduite, en ses facteurs nombres premiers, le plus grand nombre de facteurs 2 ou 5 mis en évidence par cette décomposition , sera précisément le même que celui des chiffres non périodiques: en l’augmentant d’une unité, on a donc le rang du premier chiffre périodique (*).

Cependant il pourrait arriver que le produit du nombre non périodique , par le facteur composé de 9, étant

(*) Cette conclusion paraîtrait en défaut à l’égard de toute fraction dont le dénominateur ist un produit des facteurs 2 ou 5 , et qui donne lieu, ainsi qu’on le sait ( 84 ), à une fraction décimale terminée , et non

périodique. Suit, par exemple , la fraction - =5 0,375

on conclurait du

dénominateur 8 = 2 X 2 X a que la partie étrangère à la période , est composée de trois chiffres , et qu’ainsi la période ne commence qu’au quatrième rang, ce qui est vrai, en formant la période de zéros, c’est -èdye , en écrivaut la fraction sous la forme

o, 375 000 000 , etc.