CHAPITRE VIII. n

d’où on conclut que tout carré composé d’un ou de deux chiffres, a pour racine un nombre d’un seul chiffre, en observant que le plus petit carré composé de trois chiffres , qui est 100, a pour racine 10 qui a deux chiffres.

Tout nombre compris entre les carrés consécutifs i et 4 » 4 et 9, g et 16, etc. a sa racine comprise entre i et 2 , entre a et 3 , entre 3 et 4 , etc.; ainsi, par exemple, la racine carrée de 72, est plus grande que 8, et plus petite que 9; elle est 8 plus une fraction qu’on ne peut assigner exactement ( Algèb. ) , mais dont on peut approcher continuellement, comme on le verra bientôt.

Ces racines carrées qu’on ne peut assigner exactement , «ont dites sourdes , irrationnelles ou incommensurables.

Passons aux nombres de plus d’un chiffre, et examinons de quelle manière les dixaines et les unités se combinent dans le carré. Soit le nombre 64 à élever au carré, ou ù multiplier par lui-même : le produit se compose x.° de celui de 4 P ar 4 > c’est-h-dire , du carré de 4 » ou du carré des unités ; 2. 0 de celui de 6 par 4» ou du produit des dixaines par les unités ; 3 .° de celui de 4 par 6, ou du produit des unités par les dixaines ; 4-° de celui de 6 par 6, ou du cané des dixaines.

Si l’on observe que le produit des dixaines par les unités est le même que celui des unités par les dixaines ( 3 i) , on conclura que le carré d’un nombre de deux chiffres , se compose i.° du carré des dixaines ; 1° du double produit des dixaines par les unités; 3 .° du carré des unités.

Or , le carré des dixaines n’est autre chose que le carré du chiffre des dixaines suivi de deux zéros, et le double produit des dixaines ‘par les unités, revient au double produit du chiffre des dixaines par celui des unités, suivi d’un zéro ; en sorte qu’on peut regarder le chiffre des dixaines comme comptant des unités.

D’après la règle et l’observation précédentes, on fera le carré de 64 , en disant i.° le carré d r 6 est 36 , qui suivi

i2o ARITHMETIQUE,

«le deux zéros , donne 36oo; 2. 0 le double produit de 6 par 4 est 48 , qui suivi d’un zéro , donne 480 ; 5.° le carré de 4 est 16 : ajoutant ces trois ternies , on a 36oo + 486 + 16

Il résulte de ce mode décomposition du carré d’un nombre , que le carré du chiffre des disaines 11e peut faire partie des deux chiffres de droite du carré total , et que le double produit du chiffre des disaincs par celui des imités , 11e peut faire partie du premier chiffre de droite du même carré.

Examinons, en second lieu, la composition du carré d’un nombre de trois chiffres, et supposons la racine 35g : ce nombre étant décomposable en 35 dixaines, plus 9 unités , son carré sera composé , suivant la règle cidessus, du carré de 35 dixaines, du double produit de 35 dixaines par 9 unités , et du carré de 9 unités : or , la première partie n’étant que le carré de 35 suivi de deux zéros , il s’ensuit que , si dans le carré total de 359, qui est 128881 , on sépare deux chiffres à droite, la partie à gauche 1288 contiendra le carré de 35: mais comme la racine 35 est eneftre composée de dixaines et d’unités , son carré renferme encore trois parties dont l’une qui est le carré de 3 ne peut faire partie de 88, et se trouve Conséquemment dans 12. Si donc on divise le carré total en tranches de deux chiffres de droite vers gauche en cette manière : 12 j 88 | 81 , la première tranche de gauche contiendra le carré du premier chiffre de gauche de la racine ; les deux premières tranches de gauche contiendront le carré des deux premiers chiffres de gauche de la même racine , et les trois tranches seront le carré de la racine totale.

Pour montrer la généralité de cette loi , supposons une racine de quatre chiffres, savoir, 2481 qni a pour,

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