CHAPITRE VIII. i 3 i

premier par le carré du second , suivi d’un zéro , et le cube second , somme qui doit être moindre que i 363 i 3 : la soustraction faite , on abaissera à la droite du reste 4761 la troisième tranche 355 , ce qui donnera le nombre 476 i 355 dont la partie qui compte les centaines, savoir 47 ^i 3, doit contenir le triple carré de 78 par le troisième chiffre de la racine qui est celui des dizaines: en divisant 4 ? 6 i 3 par trois fois le carré de 78 qui est 18252, on obtient le quotient a : faisant trois fois le carré de 78 par 3 suivi de deux zéros , trois fois 78 par le carré de 1 suivi d’un zéro, le cube 2, et retranchant cette somme de 476 i 355, on aura le reste noi 587 à la droite duquel il faut écrire la dernière tranche 976, ce qni donnera 1101587976 dont la partie à gauche des deux premières places, c’est-à-dire, 11015879 divisé par le triple carré de 782 qui est 1834572, donne pour quotient le chiffre 6 des unités de la racine : faisant le triple carré de 782 dizaines par 6, le triple produit de 782 dizaines par le carré de 6 et le cube de 6, et retranchant cette somme de 1101587976, on a le reste o ; en sorte que le nombre proposé est le cube exact de 7826.

Dans ces opérations, on 11’a eu à extraire que la racine cubique de la dernière tranche à gauche qui comporte , au plus, trois chiffres, extraction qui fait connaître le chiffre des plus hautes unités de la racine : les chiffres suivans sont donnés par des divisions.

Lorsque le nombre proposé n’est pas un cube exact, on n’extrait par le procédé actuel que la racine du plu» graud cube contenu dans ce nombre, et on a un reste. Lorsque ce reste final est plus grand ou même égal à trois fois le carré de la racine trouvée , plus trois fois cette racine, plus l’unité, on conclut que la racine obtenue est trop petite, ou plutôt que le chiffre de ses unités est trop petit, et qu’il faut l’augmenter. ( Voyez l’Algèbre . )

Des Racines carrées et cubiques approchées des nombres entiers , fractionnaires et décimaux .

(91) Lorsque le nombre proposé n’est pas un carré ou un cube exact, les méthodes précédentes donnent la racine carrée ou cubique, à moins d’une unité, puisque cette racine augmentée d’une unité, serait trop grande: nous nous proposons , dans ce titre , de rechercher ces racines à moins d’an dixième, d’un centième, d’un millième , etc. d’unité près.

Supposons d’abord qu’il s’agisse d’extraire , à moins d’un dixième , la racine carrée d’un nombre qui n’est pas un carré exact : on sait déjà (89) qu’en multipliant un carré par 100 , on ne fait que multiplier la racine par 10; ainsi on doit la diviser par 10, et comme par là on divise par 10 l’erreur • qui n’était pas d’une unité , on a une racine exacte , à moins d’un dixième. Pour avoir la racine à moins d’un centième, on multipliera le nombre proposé par le carré de 100, ou par 10000.

Donc , en général , il faut écrire à la suite du nombre dont on doit extraire la racine carrée , un nombre de zéros double de celui des décimales qu’on veut avoir à cette racine.

Pour avoir la racine cubique d’un nombre entier, à moins d’un dixième , d’un centième, etc. d’unité près , il faut multiplier le nombre par le cube de 10 , par le cube de 100, etc., et diviser ensuite la racine cubique par 10, par 100, etc.

Donc, en général, il faut écrire à la suite du nombre donne comme cube , un nombre de zéros triple de celui des décimales qu’on veut avoir à la racine cubique.

De ce qu’un produit a autant de décimales qu’il y en a en somme dans les deux facteurs ( 35 ) , il s’ensuit que , pour extraire la racine carrée ou cubique d’une fraction décimale, il faut préparer la fraction donnée de manière