CHAPITRE VIII. i

que le nombre de ses décimales soit double dans le premier cas, et triple dans le second, de celui des décimales requises à la racine; puis faisant abstractiou de la virgule , on extrait, d’après les règles précédentes, la racine soit carrée soit cubique, à la droite de laquelle on détache, par une virgule , la moitié ou le tiers du nombre des figures décimales qui se trouvaient dans le carré ou dans le cube, avant la suppression de la virgule.

Que l’pn demande , par exemple , la racine carrée de 1,897 ave c quatre décimales: il faudra ajouter cinq zéros à la suite de la fraction proposée qui deviendra 1,89700000: on trouvera pour racine 1,409b. La racine de o ,3 avec cinq décimales, est 0,64772.

Considérons, en dernier lieu., les fractions ordinaires: il résulte de la règle donnée (71) pour la multiplication des fractions , que le carré d’une fraction est une fraction entre le carré de son numérateur et celui de son dénominateur, et que le cube d’une fraction est une fraction entre le cube du numérateur et celui du dénominateur : d’où il suit réciproquement que

Pour extraire la racine ou carrée ou cubique d'une fraction , il faut extraire séparément la racine demandée de chacun de ses deux termes.

L’application de cette règle suppose que les deux termes soient des carrés ou des cubes, ce qu’on ne reconnaît que par le fait. Dans le cas contraire , on cherche à rendre le dénominateur un carré ou un cube , ce qu’on fait eu multipliant les deux termes par le dénominateur ou par son carré : cette préparation est nécessaire pour connaître l’espèce de l’uuité fractionnaire. Autrement, comme on 11’aurait qu’un déuominateur approché, ou ne pourrait dire quelle est l’unité de la fraction racine : mais le numérateur est alors approché.

Qu’on demande la racine de - , à moins d’un dixième :

j 34 ARITHMÉTIQUE,

on multipliera le numérateur par 100, ce qui donnera 20#, dont la racine carrée est 14 , à moins d’une unité : en la divisant par 10, on aura 1,4, et pour la racine cherchée

racine exacte, à moins du tiers d’un dixième,

ou, h moins d’un trentième, puisque l’erreur qui n’est pas d’un dixième sur le numérateur, se trouve divisée

par 3. En effet , cette racine augmentée de — , est ^

dont le carré - — = — - est plus grand que — .

Mais lorsque les deux termes ne sont pas des carrés ou des cubes parfaits, il est plus expéditif de réduire la proposée eu une fraction décimale dont le nombre des décimales soit double ou triple de celui qu’on veut avoir St la racine (83) , et alors on opère comme on la dit ci-dessus.

Qu’on demande la racine carrée de — = — avec quatre

décimales : celle de 6 avec quatre décimales, est 3,4495

qui divisé par 3, donne o,8i65. Autrement la fraction

est o, 6666, etc. : extrayant la racine carrée suivant la règle ci-dessus, on retombe sur le même résultat.

(93) Pour dire qu’un nombre est plusieurs fois facteur, on écrit au-dessus et à droite de ce nombre, un chiffre qui compte le nombre de fois qu’il est facteur. D’après cette convention 3X3=3% aX3X3=2 s , 2X3 X2Xa=2 4 , etc.: ces chiffres supérieurs 3 , 3 , 4 » etc. , se nomment exposons; ils sont les indices de la puissance du nombre qui est au-dessous : réciproquement , ce nombre est une raciue carrée par rapport au nombre facteur a fois , racine cubique , ou quatrième , ou cinquième , etc. , par rapport au nombre 3 , 4 « 5 , etc. , fois facteur.

La théorie des logarithmes qu’on trouvera. plus loin, offre des moyens beaucoup plus rapides et non moins sûrs d’obtenir les racines carrées , cubiques et même les racines supérieures avec toute l’approximation désirable.