CHAPITRE IX. i

or , 8 ajouté et soustrait en même temps dans le premier membre, donnant encore zéro, l’égalité se réduit à 12 + 2 = 6 + 8;

mais 12 + 2 est la somme des extrêmes, et 6 H- 8 est celle des moyens dans l’équi-différeuce donnée qui revient à la proportion

Donc , etc.

Soit , en second lieu , la proportion 8 . 12 : 2 . 6

qui revient à l’équi-différcnce

où les nombres retranchés sont respectivement plus grands que ceux dont on les retranche , ce qui fait une difficulté : en ajoutant d’abord 12 , puis 6 aux deux membres, on aura 8 + G = a + n :

si des deux membres de celle-ci on retranche d’abord 8 et ensuite 2 , on trouvera

6 — 2 = 1 2 — 8 , ou 1 2 — 8 = 6 — 2 , d’où 12.8 : 6 . 2 : or, ayant démontre sur cette dernière proportion , que la somme des extrêmes est égale à celle des moyens, la même propriété a lieu sur la proposée qui a même somme d’extrêmes et même somme de moyens.

(96) Réciproquement , quatre nombres tels que la somme de deux de ces nombres soit égale à celle de deqx aulivs, pourront former une équi-diff n'rence.

Soit l’égalité

qui exprime la condition énoncée entre quatre nombres : si de chaque membre on soustrait 8 , on aura

12 -f- 2 — 8 = 6+ 8 — 8 =6; si des deux membres de celle-ci on soustraie, on aura 12 + 2 — 8 — 2 = 6 — 2 qui revient h 12 — 8 = 6 — 2,

c’est-à-dire, à 12 . 8 ; 6 . 2.

Donc , etc.

i 38 ARITHMÉTIQUE,

(97) Dans toute e'qui -différence ou proportion aritkmhtique , on peut augmenter ou diminuer les deux antécédent d’un même nombre , et les deux conséquens d’un même autre nombre , sans que la proportion soit altérée , ou sans quelle cesse d’être proportion.

Soit l’équi-différence

12 — -8 = 6 — », qui répond à la proportion

il est clair qu’on peut, sans l’altérer, augmenter les deux membres d’un même nombre et les diminuer d’un mémo autre nombre ; ainsi, en ajoutant, par exemple, 3 de part et d’autre , on aura

x2 -4- 3 ■ — 8 ~ 6 *4" 3 — 2 3 retranchant 5 , par exemple, des deux côtés, on aurai 12-1-3 — 8 — 5 = 6 + 3 — 2 — 5 , c’est-à-dire ,

i 5 — i 3 = 9 — 7, d’où i 5 . *3 : 9 . 7 :

où 1 5 et 9 sont les antecédens 12 et 6 de la proportion? donnée , augmentés de 3 , et les conséquens i 3 et 7 sont ceux de la même proportion , augmentés de 5 . Donc , etc*

(98) On pourrait encore démontrer que lorsqu’il n’y a plus proportion arithmétique , ou équi-différence entre quatre termes, la somme des extrêmes n’est plus égale ù celle des .moyens, et réciproquement} en sorte que cette égalité entre la somme des extrêmes et celle des moyens, est un caractère distinctif de la proportion arithmétique.

Mais les propriété < de l’équi - différence trouvant peu d’applications, nous passerons de suite à l’équi-quotienf qui en a de fort usuelles tant dans l’arithmétique qu6 dans la géométrie.

(99) Dans tout e’qui-quotient ou proportion géométrique , le produit des extrêmes est égal à celui des mojrens.

Soit la proportion géométrique