CHAPITRE X

Application de la doctrine des Proportions.

(ni) Dans les questions que nous allons traiter, il s’agit toujours de découvrir un nombre inconnu lié à trois nombres donnés par une proportion géométrique , ce qu’on fait aisément au moyen de l’égalité qu’on en tire entre le produit des extrêmes et celui des moyens. Comme les données sont au nombre de trois, ou peuvent, au moins , être réduites à ce nombre , on appelle règles de trois celles qu’il faut faire pour résoudre ces questions : on en distingue de simples et de composées , qui peuvent être directes ou diverses. Dans tous les cas , la difficulté consiste à traduire la question proposée en proportion : or , lorsqu’on a bien distingué parmi les données et l’inconnue , les deux termes d’une même espèce, et les deux termes d’une même autre espèce, on a toujours cette proportion :

Le plus petit terme d'une espece, est au plus grand de cette espèce ; comme le plus petit terme de la seconde espèce , est au plus grand terme de cette espèce.

Mais il peut arriver que les deux termes de la seconde espece, doivent correspondre directement à leurs relatifs de de la seconde espèce , ou vice versa : ce qui donne lieu aux distinctions en règles directes et inverses établies plus haut.

Mais comme ces généralités pourraient paraître trop, abstraites, nous allons recourir à des exemples qui les éclairciront.

1 5 o ARITHMÉTIQUE,

Règles de Trois simples , directes et inverses*

i. re Question. 6 mètres (unités de longueur) ont coûté 36 firmes , combien coûteront 18 mètres P

Il est clair qu’autant de fois 6 mètres sont contenus dans 18 mètres , autant de fois le prix de 6 mètres , c’està-dire, 36 francs, sera contenu dans celui des 18 mètres. Il est visible ici que les termes d’une même espèce, savoir, 6 '" et i8 m , correspondent directement à leurs relatifs de l’autre espèce, qui sont 36 f et x { , c’est-à-dire, plus petit à plus petit , et plus grand à plus grand ; la règle est donc directe, et l’énoncé fournit la proportion

6 m : i8 m = 36 f : x f ; d’où x f = 36 f x — = io8 f .

On remarque que le rapport de i8 m à 6 m est abstrait, ce qui doit arriver, puisque ce rapport est le multiplicateur de 36 f , et que d’ailleurs le produit doit compter des francs.

On a un autre moyen simple de reconnaître si la règle est directe; nous allons le faire connaître sur la question que nous venons de traiter. Par cela seul qu’une augmentation dans le nombre de mètres, auquel répond le nombre inconnu de francs, produit une augmentation dans le nombre inconnu de francs , ce qu’on exprime abréviativement, en disant que le plus produit le plus , les rapports entre les nombres de mètres et les nombres do francs sont directs , et on dit que la règle est directe : ce caractère est facile à saisir.

i. c Question, 7 ouvriers ont fait un certain ouvrage en 1a jours : en combien de jours 28 ouvriers feront-ils le même ouvrage ?

PI us la seconde bande d’ouvriers à laquelle répond le nombre inconnu de jours, sera nombreuse, moins il lui faudra de temps pour faire le même ouvrage : le plus dans